Раздел 17. Выбрать метод численного решения для уравнений. Обосновать выбор

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

Уравнение 1: $3u''=2u+x^2$

Приведём к канону: $3u''-2u-x^2=0\Rightarrow 0\cdot u'=3\,u''-2\,u-x^2$. $\sigma=3>0$, $v=0$ (производной $u'$ нет), член при $u$ есть $-2u=-k u\Rightarrow k=+2>0$, $f=-x^2$.

Знак $v$: $v=0$ — первой производной нет, выбор разности не требуется.

Выбор метода: $k=2>0$ — достаточное условие сходимости прогонки выполнено, стационарную задачу решаем методом прогонки напрямую.

Разностная схема ($u''$ — центральная аппроксимация, конвективного члена нет):

$$-\frac{\sigma}{h^2}u_{j+1}+\Big(\frac{2\sigma}{h^2}+k\Big)u_j-\frac{\sigma}{h^2}u_{j-1}=f(x_j),\quad \sigma=3,\;k=2,\;f=-x_j^2.$$$$a_j=-\frac{3}{h^2},\quad b_j=\frac{6}{h^2}+2,\quad c_j=-\frac{3}{h^2},\quad \xi_j=-x_j^2.$$

Сходимость прогонки: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{6}{h^2}<\dfrac{6}{h^2}+2=|b_j|$ ($k=2>0$).

ГУ 1-го рода $u(0)=\varphi_1,\;u(1)=\varphi_2$ дают $\alpha_1=0,\;\beta_1=\varphi_1$, на правой границе $u_N=\varphi_2$. Порядок $O(h^2)$.

Уравнение 2: $3u''=-2u+x^2$

Канон: $3u''+2u-x^2=0\Rightarrow 0\cdot u'=3u''+2u-x^2=3u''-(-2)u-x^2$. $\sigma=3>0$, $v=0$, член при $u$ есть $+2u=-k u\Rightarrow k=-2<0$, $f=-x^2$.

Знак $v$: $v=0$.

Выбор метода: $k=-2\le0$ — диагональное преобладание $|a_j|+|c_j|<|b_j|$ теряется, прогонка напрямую неприменима. Применяем метод установления:

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}=3\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+2\tilde u-x^2.$$

$v=0$ — конвективного члена нет. Неявная схема установления:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}=3\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+2u_j^{n+1}-x_j^2.$$

Приведение к виду прогонки (член $+2u^{n+1}$, т.е. $-k u$ с $k=-2$, идёт в $b_j$):

$$a_j=-\frac{3\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{6\Delta t}{h^2}-2\Delta t,\quad c_j=-\frac{3\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n-\Delta t\,x_j^2.$$

Сходимость прогонки за счёт $+1$ от фиктивной производной: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{6\Delta t}{h^2}<1+\dfrac{6\Delta t}{h^2}-2\Delta t=|b_j|$ при малом $\Delta t$. $\alpha_1=0,\beta_1=\varphi_1$, $u_N^{n+1}=\varphi_2$. $u_j^0=f=-x_j^2$; итерации до $\|u^{n+1}-u^n\|\le\varepsilon$. Порядок $O(\Delta t,h^2)$.

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

Уравнение 1: $8u'+0.7u''+4u=0$

При $u''$ стоит $0.7>0$ — домножать не нужно. $0.7u''+8u'+4u=0$. Член при $u'$: $B=+8\Rightarrow v=-B=-8<0$. Член при $u$: $+4u=-k u\Rightarrow k=-4<0$. $\sigma=0.7$, $f=0$.

Знак $v=-8<0$ → ПРАВАЯ разность $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$.

Выбор метода: $k=-4\le0$ — прогонка напрямую неприменима. Метод установления. Уравнение установления (знак при $\tilde u_x$ совпадает со знаком $v<0$):

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}-8\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=0.7\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+4\tilde u.$$

Неявная схема (для $v<0$ — правая разность):

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-8\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=0.7\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+4u_j^{n+1}.$$$$a_j=\frac{v\Delta t}{h}-\frac{\sigma\Delta t}{h^2}=-\frac{8\Delta t}{h}-\frac{0.7\Delta t}{h^2},$$$$b_j=1-\frac{v\Delta t}{h}+\frac{2\sigma\Delta t}{h^2}+k\Delta t=1+\frac{8\Delta t}{h}+\frac{1.4\Delta t}{h^2}-4\Delta t,$$$$c_j=-\frac{\sigma\Delta t}{h^2}=-\frac{0.7\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{8\Delta t}{h}+\dfrac{1.4\Delta t}{h^2}<|b_j|$ за счёт $+1$ (малое $\Delta t$). $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N^{n+1}$ из правого. $u_j^0=f=0$. Порядок $O(\Delta t,h)$.

Уравнение 2: $8u'+0.7u''-4u=0$

$0.7u''+8u'-4u=0$. $\sigma=0.7>0$, $B=+8\Rightarrow v=-8<0$, член $-4u=-k u\Rightarrow k=+4>0$, $f=0$.

Знак $v=-8<0$ → ПРАВАЯ разность.

Выбор метода: $k=+4>0$ — прогонка напрямую (правая разность):

$$-8\frac{u_{j+1}-u_j}{h}=0.7\frac{u_{j+1}-2u_j+u_{j-1}}{h^2}-4u_j.$$$$a_j=\frac{v}{h}-\frac{\sigma}{h^2}=-\frac{8}{h}-\frac{0.7}{h^2},\quad b_j=-\frac{v}{h}+\frac{2\sigma}{h^2}+k=\frac{8}{h}+\frac{1.4}{h^2}+4,\quad c_j=-\frac{0.7}{h^2},\quad \xi_j=0.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{8}{h}+\dfrac{1.4}{h^2}<\dfrac{8}{h}+\dfrac{1.4}{h^2}+4=|b_j|$ ($k=4>0$). $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N$ из правого. Порядок $O(h)$.

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

Уравнение 1: $0.2u''=5u'-6ux$

При $u''$ стоит $0.2>0$. $0.2u''-5u'+6x\,u=0$. Член при $u'$: $B=-5\Rightarrow v=-B=+5>0$. Член при $u$: $+6x\,u=-k u\Rightarrow k=-6x$. $\sigma=0.2$, $f=0$.

Знак $v=+5>0$ → ЛЕВАЯ разность $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$.

Выбор метода: $k=-6x\le0$ на $x\in[0,1]$ — прогонка напрямую неприменима. Метод установления (знак при $\tilde u_x$ совпадает с $v>0$):

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}+5\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=0.2\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+6x\,\tilde u.$$

Неявная схема (для $v>0$ — левая разность):

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+5\frac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=0.2\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+6x_j\,u_j^{n+1}.$$$$a_j=-\frac{0.2\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{5\Delta t}{h}+\frac{0.4\Delta t}{h^2}-6x_j\Delta t,\quad c_j=-\frac{5\Delta t}{h}-\frac{0.2\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n.$$

Сходимость обеспечивается членом $+1$ при малом $\Delta t$. $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N^{n+1}$ из правого. $u_j^0=f=0$. Порядок $O(\Delta t,h)$.

Уравнение 2: $0.2u''=5u'+6ux$

$0.2u''-5u'-6x\,u=0$. $\sigma=0.2>0$, $B=-5\Rightarrow v=+5>0$, член $-6x\,u=-k u\Rightarrow k=+6x\ge0$, $f=0$.

Знак $v=+5>0$ → ЛЕВАЯ разность.

Выбор метода: $k=6x\ge0$ на $[0,1]$ (строго $>0$ при $x>0$) — диагональное преобладание в внутренних узлах выполнено, прогонка напрямую (левая разность):

$$5\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=0.2\frac{u_{j+1}-2u_j+u_{j-1}}{h^2}-6x_j\,u_j.$$$$a_j=-\frac{0.2}{h^2},\quad b_j=\frac{5}{h}+\frac{0.4}{h^2}+6x_j,\quad c_j=-\frac{5}{h}-\frac{0.2}{h^2},\quad \xi_j=0.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{5}{h}+\dfrac{0.4}{h^2}<\dfrac{5}{h}+\dfrac{0.4}{h^2}+6x_j=|b_j|$ при $x_j>0$. $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N$ из правого. Порядок $O(h)$.

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

Уравнение 1: $7u''=6u+x^2e^x$

$7u''-6u-x^2e^x=0\Rightarrow 0\cdot u'=7u''-6u-x^2e^x$. $\sigma=7>0$, $v=0$, $-6u=-k u\Rightarrow k=+6>0$, $f=-x^2e^x$.

Знак $v=0$ — производной $u'$ нет.

Выбор метода: $k=6>0$ — прогонка напрямую.

$$-\frac{\sigma}{h^2}u_{j+1}+\Big(\frac{2\sigma}{h^2}+k\Big)u_j-\frac{\sigma}{h^2}u_{j-1}=f(x_j).$$$$a_j=-\frac{7}{h^2},\quad b_j=\frac{14}{h^2}+6,\quad c_j=-\frac{7}{h^2},\quad \xi_j=-x_j^2e^{x_j}.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{14}{h^2}<\dfrac{14}{h^2}+6=|b_j|$ ($k=6>0$). $\alpha_1=0,\beta_1=\varphi_1$, $u_N=\varphi_2$. Порядок $O(h^2)$.

Уравнение 2: $7u''=x^2e^x$

$7u''-x^2e^x=0\Rightarrow 0\cdot u'=7u''-0\cdot u-x^2e^x$. $\sigma=7>0$, $v=0$, члена $u$ нет $\Rightarrow k=0$, $f=-x^2e^x$.

Знак $v=0$.

Выбор метода: $k=0$ — достаточное условие сходимости прогонки не выполнено ($|a_j|+|c_j|=|b_j|$). Метод установления:

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}=7\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}-x^2e^x.$$

Неявная схема (конвективного члена нет, $v=0$):

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}=7\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}-x_j^2e^{x_j}.$$$$a_j=-\frac{7\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{14\Delta t}{h^2},\quad c_j=-\frac{7\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n-\Delta t\,x_j^2e^{x_j}.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{14\Delta t}{h^2}<1+\dfrac{14\Delta t}{h^2}=|b_j|$ за счёт $+1$. $\alpha_1=0,\beta_1=\varphi_1$, $u_N^{n+1}=\varphi_2$. $u_j^0=f=-x_j^2e^{x_j}$. Порядок $O(\Delta t,h^2)$.

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

В обоих уравнениях $\sigma=0.3>0$. В каноне $0.3u''+6u'+\dots$ член при $u'$: $B=+6\Rightarrow v=-6<0$ — правая разность $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$.

Уравнение 1: $6u'+0.3u''-5x=0$

$0.3u''+6u'-5x=0$: $\sigma=0.3$, $v=-6<0$, члена $u$ нет $\Rightarrow k=0$, $f=5x$.

Знак $v=-6<0$ → ПРАВАЯ разность.

Выбор метода: $k=0$ — метод установления. Уравнение установления (знак при $\tilde u_x$ совпадает с $v<0$):

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}-6\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=0.3\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+5x.$$

Неявная схема (правая разность для $v<0$):

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-6\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=0.3\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+5x_j.$$$$a_j=-\frac{6\Delta t}{h}-\frac{0.3\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{6\Delta t}{h}+\frac{0.6\Delta t}{h^2},\quad c_j=-\frac{0.3\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n+5x_j\Delta t.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{6\Delta t}{h}+\dfrac{0.6\Delta t}{h^2}<|b_j|$ за счёт $+1$. $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N^{n+1}$ из правого. $u_j^0=f=5x_j$. Порядок $O(\Delta t,h)$.

Уравнение 2: $6u'+0.3u''-5x=u$

$0.3u''+6u'-5x-u=0$: $\sigma=0.3$, $v=-6<0$, член $-u=-k u\Rightarrow k=+1>0$, $f=5x$.

Знак $v=-6<0$ → ПРАВАЯ разность.

Выбор метода: $k=+1>0$ — прогонка напрямую (правая разность). Канон $v u'=\sigma u''-k u+f$ при $v=-6$, т.е. $6\frac{u_{j+1}-u_j}{h}$ из исходного:

$$a_j=\frac{v}{h}-\frac{\sigma}{h^2}=-\frac{6}{h}-\frac{0.3}{h^2},\quad b_j=-\frac{v}{h}+\frac{2\sigma}{h^2}+k=\frac{6}{h}+\frac{0.6}{h^2}+1,\quad c_j=-\frac{0.3}{h^2},\quad \xi_j=5x_j.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{6}{h}+\dfrac{0.6}{h^2}<\dfrac{6}{h}+\dfrac{0.6}{h^2}+1=|b_j|$ ($k=1>0$). $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N$ из правого. Порядок $O(h)$.

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

$\sigma=0.3>0$; член при $u'$ в каноне $B=+6\Rightarrow v=-6<0$ — правая разность.

Уравнение 1: $6u'+0.3u''-5x=0$

Как в уравнении 1 задачи 17.5: $\sigma=0.3$, $v=-6<0$, $k=0$, $f=5x$.

Знак $v=-6<0$ → ПРАВАЯ разность.

Выбор метода: $k=0$ — метод установления (неявная схема, правая разность):

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}-6\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=0.3\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+5x.$$$$a_j=-\frac{6\Delta t}{h}-\frac{0.3\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{6\Delta t}{h}+\frac{0.6\Delta t}{h^2},\quad c_j=-\frac{0.3\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n+5x_j\Delta t.$$

Сходимость за счёт $+1$. $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N^{n+1}$ из правого. $u_j^0=f=5x_j$. Порядок $O(\Delta t,h)$.

Уравнение 2: $6u'+0.3u''-5x=u^2$

$0.3u''+6u'-5x-u^2=0$: $\sigma=0.3>0$, $v=-6<0$. Член $u^2$ — нелинейный; линейного $k u$ нет ($k=0$), $f=5x$.

Знак $v=-6<0$ → ПРАВАЯ разность.

Выбор метода: нелинейное ($u^2$) — метод установления; нелинейный член берётся с предыдущей итерации $u^2\to(u_j^n)^2$:

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}-6\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=0.3\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+5x+\tilde u^2.$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-6\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=0.3\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+5x_j+(u_j^n)^2.$$$$a_j=-\frac{6\Delta t}{h}-\frac{0.3\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{6\Delta t}{h}+\frac{0.6\Delta t}{h^2},\quad c_j=-\frac{0.3\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n+\Delta t\big(5x_j+(u_j^n)^2\big).$$

Сходимость прогонки на итерации — за счёт $+1$. $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N^{n+1}$ из правого. $u_j^0=f=5x_j$. Порядок $O(\Delta t,h)$.

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

$\sigma=0.3>0$; член при $u'$ в каноне $B=+6\Rightarrow v=-6<0$ — правая разность.

Уравнение 1: $6u'+0.3u''-5x=u$

Как в уравнении 2 задачи 17.5: $\sigma=0.3$, $v=-6<0$, $-u=-k u\Rightarrow k=+1>0$, $f=5x$.

Знак $v=-6<0$ → ПРАВАЯ разность.

Выбор метода: $k=1>0$ — прогонка напрямую (правая разность):

$$a_j=-\frac{6}{h}-\frac{0.3}{h^2},\quad b_j=\frac{6}{h}+\frac{0.6}{h^2}+1,\quad c_j=-\frac{0.3}{h^2},\quad \xi_j=5x_j.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|<|b_j|$ ($k=1>0$). $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N$ из правого. Порядок $O(h)$.

Уравнение 2: $6u'+0.3u''-5x=u^2$

Как в уравнении 2 задачи 17.6: $\sigma=0.3$, $v=-6<0$, член $u^2$ нелинейный, $k=0$, $f=5x$.

Знак $v=-6<0$ → ПРАВАЯ разность.

Выбор метода: нелинейное → метод установления (нелинейный член с пред. итерации):

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-6\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=0.3\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+5x_j+(u_j^n)^2.$$$$a_j=-\frac{6\Delta t}{h}-\frac{0.3\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{6\Delta t}{h}+\frac{0.6\Delta t}{h^2},\quad c_j=-\frac{0.3\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n+\Delta t(5x_j+(u_j^n)^2).$$

Сходимость прогонки на итерации — за счёт $+1$. $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N^{n+1}$ из правого. $u_j^0=5x_j$. Порядок $O(\Delta t,h)$.

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

$\sigma=0.2>0$; в каноне $0.2u''+9u'+\dots$ член при $u'$: $B=+9\Rightarrow v=-9<0$ — правая разность $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Оба уравнения нелинейны ($u^2$).

Уравнение 1: $9u'+0.2u''=u^2+2x$

$0.2u''+9u'-u^2-2x=0$: $\sigma=0.2>0$, $v=-9<0$, линейного $u$ нет ($k=0$), нелинейный $+u^2$, $f=2x$.

Знак $v=-9<0$ → ПРАВАЯ разность.

Выбор метода: нелинейное → метод установления:

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}-9\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=0.2\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+\tilde u^2+2x.$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-9\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=0.2\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+(u_j^n)^2+2x_j.$$$$a_j=-\frac{9\Delta t}{h}-\frac{0.2\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{9\Delta t}{h}+\frac{0.4\Delta t}{h^2},\quad c_j=-\frac{0.2\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n+\Delta t((u_j^n)^2+2x_j).$$

Сходимость прогонки на итерации — за счёт $+1$. $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N^{n+1}$ из правого. $u_j^0=f=2x_j$. Порядок $O(\Delta t,h)$.

Уравнение 2: $9u'+0.2u''=-u^2-2x$

$0.2u''+9u'+u^2+2x=0$: $\sigma=0.2>0$, $v=-9<0$. В правой части установления нелинейность $-\tilde u^2$ и $f=-2x$, $k=0$.

Знак $v=-9<0$ → ПРАВАЯ разность.

Выбор метода: нелинейное → метод установления:

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}-9\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=0.2\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}-\tilde u^2-2x.$$$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}-9\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=0.2\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}-(u_j^n)^2-2x_j.$$$$a_j=-\frac{9\Delta t}{h}-\frac{0.2\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{9\Delta t}{h}+\frac{0.4\Delta t}{h^2},\quad c_j=-\frac{0.2\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n-\Delta t((u_j^n)^2+2x_j).$$

Сходимость прогонки на итерации — за счёт $+1$. $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N^{n+1}$ из правого. $u_j^0=f=-2x_j$. Порядок $O(\Delta t,h)$.

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

Уравнение 1: $\dfrac{du}{dx}=2\dfrac{d^2u}{dx^2}+7x$ (ОДУ)

Это уже канонический вид $v\,u'=\sigma u''+f$ с $v=+1$, $\sigma=2>0$, $f=7x$ (переписывать как $2u''-u'$ нельзя — исказится знак $v$). Члена $u$ нет: $k=0$.

Знак $v=+1>0$ → ЛЕВАЯ разность $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$.

Выбор метода: $k=0$ — метод установления (знак при $\tilde u_x$ совпадает с $v>0$):

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}+\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=2\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+7x.$$

Неявная схема (левая разность для $v>0$):

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}+\frac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=2\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+7x_j.$$$$a_j=-\frac{2\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{\Delta t}{h}+\frac{4\Delta t}{h^2},\quad c_j=-\frac{\Delta t}{h}-\frac{2\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n+7x_j\Delta t.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{\Delta t}{h}+\dfrac{4\Delta t}{h^2}<1+(\dots)=|b_j|$ за счёт $+1$. $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ, $u_N^{n+1}$ из правого. $u_j^0=f=7x_j$. Порядок $O(\Delta t,h)$.

Уравнение 2: $\dfrac{\partial u}{\partial y}=2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+7x$, $u=u(x,y)$ (ПДУ)

Это нестационарное уравнение параболического типа: роль времени играет $y$. Метод установления не требуется — задача эволюционная по $y$. Решается как параболическое уравнение (гл.4): по $x$ члена $\partial u/\partial x$ нет ($v=0$), $\sigma=2>0$, $f=7x$.

Неявная разностная схема ($n$ — шаг по $y$, $j$ — по $x$):

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta y}=2\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+7x_j.$$$$a_j=-\frac{2\Delta y}{h^2},\quad b_j=1+\frac{4\Delta y}{h^2},\quad c_j=-\frac{2\Delta y}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n+7x_j\Delta y.$$

Решается методом прогонки на каждом шаге по $y$. Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{4\Delta y}{h^2}<1+\dfrac{4\Delta y}{h^2}=|b_j|$. $\alpha_1,\beta_1$ и $u_N^{n+1}$ — из ГУ по $x$; начальное условие — из условия при $y=0$. Порядок $O(\Delta y,h^2)$.

Канонический вид курса (методичка, гл.10): $$v\,\frac{du}{dx}=\sigma\frac{d^2u}{dx^2}-k\,u+f(x),\qquad \sigma>0.$$ Чтобы определить знак скорости $v$, приводим уравнение к виду, где при $u''$ стоит $\sigma>0$ (при необходимости домножаем на $-1$). Коэффициент при $u'$ в этом виде обозначим $B$; перенося член $B\,u'$ налево как $v\,u'$, получаем $v=-B$. Правило разности: $v>0$ — левая $\dfrac{u_j-u_{j-1}}{h}$; $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}-u_j}{h}$. Выбор метода: при $k>0$ — прогонка для стационарной задачи напрямую; при $k\le0$ или нелинейности — метод установления.

Уравнение 1: $\dfrac{d^2u}{dx^2}=\dfrac{3x^2-2}{e^x}$ (ОДУ)

$u''-(3x^2-2)e^{-x}=0\Rightarrow 0\cdot u'=1\cdot u''-0\cdot u+f$, $\sigma=1>0$, $v=0$, $k=0$, $f=(3x^2-2)e^{-x}$.

Знак $v=0$ — производной $u'$ нет.

Выбор метода: $k=0$ — достаточное условие прогонки не выполнено ($|a_j|+|c_j|=|b_j|$). Метод установления (конвективного члена нет, $v=0$):

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}=\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}-(3x^2-2)e^{-x}.$$

Неявная схема:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}=\frac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}-(3x_j^2-2)e^{-x_j}.$$$$a_j=-\frac{\Delta t}{h^2},\quad b_j=1+\frac{2\Delta t}{h^2},\quad c_j=-\frac{\Delta t}{h^2},\quad \xi_j^n=u_j^n-\Delta t(3x_j^2-2)e^{-x_j}.$$

Сходимость: $|a_j|+|c_j|=\dfrac{2\Delta t}{h^2}<1+\dfrac{2\Delta t}{h^2}=|b_j|$ за счёт $+1$. $\alpha_1=0,\beta_1=\varphi_1$, $u_N^{n+1}=\varphi_2$. $u_j^0=f=(3x_j^2-2)e^{-x_j}$. Порядок $O(\Delta t,h^2)$.

Уравнение 2: $2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=\dfrac{3x^2-2y^2}{e^{xy}}$, $u=u(x,y)$ (ПДУ)

Двумерное стационарное уравнение эллиптического типа (гл.11). Канон $\sigma_x u_{xx}+\sigma_y u_{yy}+f=0$: $\sigma_x=2>0$, $\sigma_y=1>0$, $f=-(3x^2-2y^2)e^{-xy}$.

Выбор метода: метод установления — вводим фиктивную производную по $t$, переходя к двумерному параболическому уравнению:

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}=2\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\tilde u}{\partial y^2}-(3x^2-2y^2)e^{-xy}.$$

Решается явной схемой (метод простой итерации) либо экономичными схемами (расщепление / переменные направления). Явная формула простой итерации (при $h_x=h_y=h$):

$$u_{j,k}^{n+1}=u_{j,k}^n+\Delta t\Big[\frac{2}{h^2}(u_{j+1,k}^n-2u_{j,k}^n+u_{j-1,k}^n)+\frac{1}{h^2}(u_{j,k+1}^n-2u_{j,k}^n+u_{j,k-1}^n)+f(x_j,y_k)\Big],$$$$\Delta t\le\frac{h^2}{2(\sigma_x+\sigma_y)}=\frac{h^2}{6}.$$

Конвективных членов нет ($v_x=v_y=0$) — вопрос о направлении разности не возникает. ГУ 1-го рода по $x$ и $y$ задают значения на границах; $u_{j,k}^0=f(x_j,y_k)$. Итерации до $\|u^{n+1}-u^n\|\le\varepsilon$. Порядок $O(\Delta t,h^2)$.