🎨
Цвет акцента
Синий
Фиолетовый
Пурпурный
Главная
Блок-схемы
Тренажёры
Программа
Работы

Контрольные работы
примеры вариантов, подробные решения и все 5 вариантов из РПД

КР № 1КР № 2Экзамен →Задачник →
Темы семинаров 0–5

Контрольная работа № 1 (пример варианта)

📝 Подробные решения всех 5 задач со ссылками на материалы → 📚 Все 5 вариантов КР1 с решениями →

1. Решение → Определить тип уравнения. Привести обоснование выбора типа уравнения.

$$ 0{,}2\,\frac{\partial u}{\partial t} = 5\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2x^2, \qquad u = u(t, x) $$

2. Решение → Определить порядок аппроксимации разностной схемы

$$ \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 8\,\frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = e^{\,n\Delta t (j-1)h}, $$

аппроксимирующей уравнение

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + 8\,\frac{\partial u}{\partial x} = e^{tx} $$

в точке $(t^n, x_j)$.

3. Решение → Методом гармоник провести исследование устойчивости явной разностной схемы

$$ 0{,}2\,\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = 5\,\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + 2h^2(j-1)^2, $$

аппроксимирующей уравнение

$$ 0{,}2\,\frac{\partial u}{\partial t} = 5\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2x^2. $$

4. Решение → Для уравнения

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = 7\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 5t, \qquad u = u(t, x), \qquad u(t=0,\, x) = 0, \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=0) = 0 \\[8pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=1) = 0 \end{cases} $$

записать схему Кранка-Николсона. Привести схему к виду, удобному для использования метода прогонки. Проверить сходимость прогонки. Записать рекуррентное прогоночное соотношение. Найти $\alpha_1$, $\beta_1$. Найти $u_{N_x}^{n+1}$. Записать блок-схему алгоритма.

5. Решение → Для уравнения

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + 0{,}8\,\frac{\partial u}{\partial x} = 3\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2u, \qquad u = u(t, x), \qquad u(t=0,\, x) = 0, \qquad \begin{cases} u(t,\, x=0) = t \\ u(t,\, x=1) = t^2 \end{cases} $$

записать явную разностную схему. Записать рекуррентное соотношение. Привести алгоритм решения схемы.

PDF: КР1 (оригинал)

Темы семинаров 8–9, метод установления

Контрольная работа № 2 (пример варианта)

📝 Подробные решения всех 4 задач со ссылками на материалы → 📚 Все 5 вариантов КР2 с решениями →

1. Решение → Для уравнения:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = 0{,}2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 0{,}5\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 5tu, \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=0,\, y) = ty \\[8pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=1,\, y) = 5ty \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t,\, x,\, y=0) = tx \\ u(t,\, x,\, y=1) = 2tx \end{cases} \qquad u(t=0,\, x,\, y) = 0 $$

записать схему переменных направлений. Для каждой из подсхем: привести к виду, удобному для использования метода прогонки; проверить сходимость прогонки; записать рекуррентное соотношение; найти $\alpha_1$, $\beta_1$. Записать блок-схему алгоритма.

2. Решение → Для уравнения:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = 2\,\frac{\partial u}{\partial x} - 0{,}05\,\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad \begin{cases} u(t,\, x=0,\, y) = 0 \\ u(t,\, x=1,\, y) = t \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t,\, x,\, y=0) = 0 \\ u(t,\, x,\, y=1) = e^{tx} \end{cases} \qquad u(t=0,\, x,\, y) = e^x $$

выбрать соответствующие ему граничные условия; записать неявную разностную схему, используя метод дробных шагов. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение. Записать блок-схему алгоритма.

3. Решение → Привести уравнение:

$$ \frac{du}{dx} + 0{,}3\,\frac{d^2u}{dx^2} = 3x^2, \qquad \frac{du}{dx}(x=0) = 0, \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 1 $$

к виду, удобному для использования метода установления с использованием схемы Кранка-Николсона. Проверить сходимость прогонки. Записать итерационное соотношение. Найти $\alpha_1$, $\beta_1$. Записать условие для окончания итерационного процесса. Записать начальное приближение. Записать блок-схему алгоритма.

4. Решение → Для уравнения:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + 8\,\frac{\partial u}{\partial y} = 7ty\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5t\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 3u^2, \qquad \begin{cases} u(t,\, x=0,\, y) = ty \\ u(t,\, x=1,\, y) = t^2 y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t,\, x,\, y=0) = tx \\ u(t,\, x,\, y=1) = t^2 y \end{cases} \qquad u(t=0,\, x,\, y) = 0 $$

записать схему предиктор-корректор. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение. Указать порядок аппроксимации схемы.

PDF: КР2 (оригинал)