Численные методы · Анализ устойчивости

Метод гармоник
две окружности

Неявная разностная схема для уравнения переноса-диффузии с реакцией. Условие устойчивости через окружности на комплексной плоскости.

∂u/∂t + a·∂u/∂x = b·∂²u/∂x² + c·u + f

Устойчива

Порядок O(Δt + h)

Автор

Georgiy R

Задайте коэффициенты уравнения

Введите значения прямо в уравнение — результат обновляется мгновенно

∂u∂t + a — перенос ·∂u∂x = b — диффузия ·∂²u∂x² + c — реакция · u + f — своб. член

a: знак определяет разность против потока (a>0 → левая, a<0 → правая) · b ≥ 0: диффузия; b<0 — антидиффузия, схема неустойчива · c: со знаком (c=−3 даёт −3u) · f: не влияет на устойчивость, только в числитель рекуррентного соотношения

Тип схемы по времени

⚠ b < 0 — антидиффузия! Физически коэффициент диффузии обязан быть ≥ 0. При b<0 слагаемое 2s·(1−cosα) в знаменателе D меняет знак — окружность λ гарантированно выходит за единичную. Схема неустойчива при любых шагах.

Уравнение с вашими коэффициентами

—

Неявная разностная схема

—

Шаги сетки и анализ устойчивости

Шаги сетки

Δt — шаг по времени

0.0010.5

h — шаг по пространству

0.0010.5

Вычисленные параметры

r = \|a\|·Δt/h (Куранта)	—
s = b·Δt/h² (Фурье)	—
A = 1 + r + 2s − c·Δt	—
R (радиус D)	—
A − R (> 0?)	—
C_λ	—
R_λ	—
\|λ\|_max	—

Заключение

✓

—

Окружность D (знаменатель)

Окружность λ (усиление)

Единичная |λ|=1

Начало координат

Форма кривой λ

Рекуррентное соотношение

Формула с подстановкой текущих параметров

—

Вывод λ — метод гармоник

Пошаговый вывод для текущих параметров ▼

Теория

Почему левая / правая разность (разность против потока)? ▼

Уравнение: ∂u/∂t + a·∂u/∂x = ... — уже в форме u_t + a·u_x

Правило разностей против потока: разность берётся со стороны, откуда приходит информация, т.е. против направления скорости переноса a

a > 0 → перенос вправо → информация приходит слева → левая разность (u_j − u_j−1)/h

a < 0 → перенос влево → информация приходит справа → правая разность (u_j+1 − u_j)/h

Откуда берутся две окружности? ▼

Подставляем гармонику uⁿ_j = λⁿ·e^iαj, получаем:

λ = 1 / D(α), D = A − r·e^±iα − 2s·cosα

При α ∈ [0, 2π] точка e^iα пробегает единичную окружность. Значит D пробегает окружность с центром A и радиусом r (при b=0).

A − r = 1 − c·Δt > 0 (при c<0) → ноль снаружи D → λ=1/D конечно

Инверсия z→1/z переводит окружность (не через ноль) в другую окружность:

C_λ = A/(A²−R²), R_λ = R/(A²−R²)

|λ|_max = C_λ + R_λ = 1/(A−R) = 1/(1−c·Δt) < 1 ✓

Влияние диффузии b > 0 ▼

Центральная разность для ∂²u/∂x² даёт при подстановке гармоники:

b·Δt/h²·(e^iα − 2 + e^−iα) = 2s·(cosα − 1)

Это вещественная неположительная добавка к Re(D). Она увеличивает A и расширяет окружность D, но A−R = 1−c·Δt остаётся прежним — устойчивость сохраняется.

При b<0 добавка становится положительной и уменьшает Re(D) → |D| может обратиться в ноль → неустойчивость.

Метод гармоникдве окружности

Шаги сетки

Вычисленные параметры

Заключение

Метод гармоник
две окружности