Введение
Настоящий сборник задач предназначен для самостоятельной работы студентов при подготовке к контрольным, лабораторным работам, зачёту по курсу "Численные методы решения уравнений математической физики и химии". Данный курс относится к разделу специальных дисциплин и читается студентам факультета кибернетики химико-технологических процессов Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева. Целью курса является изучение методов численного решения дифференциальных уравнений, входящих в состав математических моделей различных физико-химических и химико-технологических процессов, на основе разностных схем.
Сборник задач содержит следующие типы заданий, изучаемых в указанном специальном курсе:
- Определение типа уравнения.
- Определение порядка аппроксимации разностной схемы.
- Исследование устойчивости разностной схемы методом гармоник.
- Решение дифференциальных уравнений различного типа с помощью явной разностной схемы.
- Решение одномерных дифференциальных уравнений параболического типа с помощью неявной разностной схемы (метод прогонки).
- Решение одномерных дифференциальных уравнений параболического типа с помощью схемы Кранка–Николсона (метод прогонки).
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом прогонки.
- Решение многомерных дифференциальных уравнений параболического типа с помощью схемы расщепления.
- Решение многомерных дифференциальных уравнений параболического типа с помощью схемы переменных направлений.
- Решение многомерных дифференциальных уравнений параболического типа с помощью схемы предиктор-корректор.
- Решение многомерных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка с помощью явной разностной схемы.
- Решение многомерных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка с помощью схемы расщепления.
- Решение многомерных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка с помощью схемы переменных направлений.
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Рунге-Кутта.
- Обезразмеривание переменных в уравнениях математических моделей.
- Запись неявной разностной схемы для системы дифференциальных уравнений.
- Выбор метода решения для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка.
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом простой итерации.
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом установления с использованием неявной разностной схемы.
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом установления с использованием схемы Кранка–Николсона.
- Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа методом простой итерации.
- Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа методом установления с использованием схемы расщепления.
- Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа методом установления с использованием схемы переменных направлений.
- Построение тестовой задачи для дифференциального уравнения.
- Построение тестовой задачи для системы дифференциальных уравнений.
Раздел 1. Определить тип уравнения при k > 0, k = 0, k < 0.
Задача 1.1. Решение →
$$2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + k\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$
Задача 1.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = k\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$
Задача 1.3. Решение →
$$k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 6\frac{\partial u}{\partial x}$$
Задача 1.4. Решение →
$$5\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + k\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 8\frac{\partial u}{\partial x}$$
Задача 1.5. Решение →
$$k\frac{\partial u}{\partial t} = 2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$
Задача 1.6. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$
Задача 1.7. Решение →
$$k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 8\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$$
Задача 1.8. Решение →
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2k\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 8\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$$
Задача 1.9. Решение →
$$k\frac{\partial u}{\partial t} + 7\frac{\partial u}{\partial x} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x$$
Раздел 2. Определить порядок аппроксимации разностной схемы.
Задача 2.1. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 0.1\frac{u_{j+1}^n - u_j^n}{h} = (j-1)h$$
Задача 2.2. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 3\frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = 3n\Delta t$$
Задача 2.3. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 5\frac{u_{j+1}^n - u_{j-1}^n}{2h} = e^{(j-1)h}$$
Задача 2.4. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = 2\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2}$$
Задача 2.5. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 0.1\frac{u_{j+1}^n - u_j^n}{h} = 2\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + 0.2(j-1)h$$
Задача 2.6. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 3\frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = 7\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + 5e^{n\Delta t}$$
Задача 2.7. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + \frac{u_{j+1}^n - u_{j-1}^n}{2h} = 2\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + n\Delta t\,(j-1)h$$
Задача 2.8. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + \frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$$
Задача 2.9. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 0.6\frac{u_{j+1}^{n+1} - u_j^{n+1}}{h} = 0.2(j-1)h$$
Задача 2.10. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 0.3\frac{u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{2h} = 0.4\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - 0.8n\Delta t$$
Задача 2.11. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 5\frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = 2\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + 3e^{(j-1)h}$$
Раздел 3. Исследовать устойчивость разностной схемы методом гармоник.
Задача 3.1. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 0.1\frac{u_{j+1}^n - u_j^n}{h} = (j-1)h$$
Задача 3.2. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 2\frac{u_{j+1}^n - u_j^n}{h} = 3n\Delta t$$
Задача 3.3. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 3\frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = e^{n\Delta t}$$
Задача 3.4. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 4\frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} + 2(j-1)h = 0$$
Задача 3.5. Решение →
$$3\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = 7\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} - 2h^2(j-1)^2$$
Задача 3.6. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = 5\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} - 2u_j^n$$
Задача 3.7. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = 0.12\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - 3u_j^{n+1} + 2n\Delta t$$
Задача 3.8. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 6\frac{u_{j+1}^{n+1} - u_j^{n+1}}{h} = 2n\Delta t\,(j-1)h$$
Задача 3.9. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 7\frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = 13(j-1)h$$
Задача 3.10. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 8\frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = 11n\Delta t - 3u_j^{n+1}$$
Задача 3.11. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + \frac{1}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + (j-1)^2 h^2$$
Задача 3.12. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 2\frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = 9\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} - 3n\Delta t$$
Задача 3.13. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 3\frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = 8\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - 4n\Delta t$$
Задача 3.14. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 5\frac{u_{j+1}^n - u_j^n}{h} = 6\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + 2(j-1)^2 h^2$$
Задача 3.15. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - 9\frac{u_{j+1}^{n+1} - u_j^{n+1}}{h} = 13\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - u_j^{n+1} - 7(j-1)^2 h^2$$
Задача 3.16. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 7\frac{u_{j+1}^n - u_{j-1}^n}{2h} = n^2\Delta t^2$$
Задача 3.17. Решение →
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + 3\frac{u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{2h} = 4\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + 5e^{(j-1)h}$$
Задача 3.18. Решение →
$$\frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = 9\left(\frac{u_{j+1,k}^n - 2u_{j,k}^n + u_{j-1,k}^n}{h^2} + \frac{u_{j,k+1}^n - 2u_{j,k}^n + u_{j,k-1}^n}{h^2}\right) + (j-1)(k-1)h^2$$
Задача 3.19. Решение →
$$\frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^n}{\Delta t} + 6\frac{u_{j,k}^n - u_{j-1,k}^n}{h} + \frac{u_{j,k}^n - u_{j,k-1}^n}{h} = (j-1)h + (k-1)h$$
Задача 3.20. Решение →
$$\frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^n}{\Delta t} - 3\frac{u_{j+1,k}^n - u_{j,k}^n}{h} - 2\frac{u_{j,k+1}^n - u_{j,k}^n}{h} + 2n\Delta t = 0$$
Раздел 4. Для уравнения: записать явную разностную схему, записать условие устойчивости разностной схемы (без вывода), привести алгоритм решения.
Задача 4.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 5t\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3e^t$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = x + 1$$
$$\begin{cases} u(t, x=0) = e^t \\ u(t, x=1) = 2e^t \end{cases}$$
Задача 4.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 2\frac{\partial u}{\partial x} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x^2$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = x$$
$$\begin{cases} u(t, x=0) = 0 \\ u(t, x=1) = t + 1 \end{cases}$$
Задача 4.3. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 6t\frac{\partial u}{\partial x} = 8x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 4tx$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = -4x$$
$$\begin{cases} u(t, x=0) = 0 \\ u(t, x=1) = 3t - 4 \end{cases}$$
Задача 4.4. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 0.25\frac{\partial u}{\partial x} = 4x - t$$
$$u = u(t, x)$$
$$u(t=0, x) = 0$$
$$u(t, x=1) = 4t$$
Задача 4.5. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 2 - x - t$$
$$u = u(t, x)$$
$$u(t=0, x) = x$$
$$u(t, x=1) = t$$
Задача 4.6. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + xy$$
$$u = u(t, x, y), \quad u(t=0, x, y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = ty \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx \end{cases}$$
Задача 4.7. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 1.3\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) + 1$$
$$u = u(t, x, y), \quad u(t=0, x, y) = xy$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t \\ u(t, x=1, y) = t + y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = t \\ u(t, x, y=1) = t + x \end{cases}$$
Задача 4.8. Решение →
$$3\frac{\partial u}{\partial t} = 5.2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) + 3z$$
$$u = u(t, x, y, z), \quad u(t=0, x, y, z) = xy$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = tz \\ u(t, x=1, y, z) = tz + y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = tz \\ u(t, x, y=1, z) = tz + x \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = xy \\ u(t, x, y, z=1) = t + xy \end{cases}$$
Раздел 5. Записать для уравнения неявную разностную схему. Привести её к виду, удобному для использования метода прогонки. Проверить сходимость прогонки. Записать рекуррентное прогоночное соотношение. Найти α₁, β₁. Найти $u_N^{n+1}$. Привести алгоритм решения.
Задача 5.1. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 6tx$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = 2u(t, x=0) \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = 3u(t, x=1) \end{cases}$$
Задача 5.2. Решение →
$$4\frac{\partial u}{\partial t} = 5t\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3u$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = 3 \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = t^2 \end{cases}$$
Задача 5.3. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 8\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 4u^2$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = u(t, x=0) \\[2mm] u(t, x=1) = e^t - 1 \end{cases}$$
Задача 5.4. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 6\frac{\partial u}{\partial x} = 7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - t^2 x$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = x$$
$$\begin{cases} u(t, x=0) = t^2 \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = 2u(t, x=1) - 3 \end{cases}$$
Задача 5.5. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x} = 0.8x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + t - x$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = x$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = 1 - t \\[2mm] u(t, x=1) = 1 \end{cases}$$
Задача 5.6. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 3\frac{\partial u}{\partial x} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 20u - 3t$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = x + 1$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = 0 \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = 0 \end{cases}$$
Задача 5.7. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 5\frac{\partial u}{\partial x} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 7t^2 u^2$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = x^2$$
$$\begin{cases} u(t, x=0) = 2t \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = 2t \end{cases}$$
Раздел 6. Записать для уравнения схему Кранка–Николсона. Привести её к виду, удобному для использования метода прогонки. Проверить сходимость прогонки. Записать рекуррентное прогоночное соотношение. Найти α₁, β₁. Найти $u_N^{n+1}$. Привести алгоритм решения.
Задача 6.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 0.2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 0.3tx$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = 0.2 \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = 0.4 \end{cases}$$
Задача 6.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 2\frac{\partial u}{\partial x} = 8\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3t$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = 0 \\[2mm] u(t, x=1) = t^2 - t \end{cases}$$
Задача 6.3. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} - 3\frac{\partial u}{\partial x} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 7tx$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = x$$
$$\begin{cases} u(t, x=0) = 2t \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = 3u(t, x=1) \end{cases}$$
Задача 6.4. Решение →
$$\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial t} + 5\frac{\partial u}{\partial x} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = 1$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = 2u(t, x=0) \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = 0 \end{cases}$$
Задача 6.5. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 0.9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 4u$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = x$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = u(t, x=0) + 2 \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = u(t, x=1) + 2 \end{cases}$$
Задача 6.6. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 7\frac{\partial u}{\partial x} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3u$$
$$u = u(t, x), \quad u(t=0, x) = x$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0) = 2t + 3 \\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1) = 2t + 3 \end{cases}$$
Транскрипция из zadachnik.pdf, печатные страницы 13–26.
Раздел 7
7. Записать для уравнения разностную схему. Привести её к виду, удобному для использования метода прогонки. Проверить сходимость прогонки. Записать рекуррентное прогоночное соотношение. Найти $\alpha_1$, $\beta_1$. Найти $u_N$. Привести алгоритм решения.
Задача 7.1. Решение →
$$3x\frac{d^2u}{dx^2} - 2u = x e^x, \qquad u = u(x)$$
$$\begin{cases} \dfrac{du}{dx}(x=0) = 2(u(x=0) - 0.5) \\[4pt] \dfrac{du}{dx}(x=1) = 2(u(x=1) - 2.5) \end{cases}$$
Задача 7.2. Решение →
$$\frac{d^2u}{dx^2} = 2u(2x+1), \qquad u = u(x)$$
$$\begin{cases} \dfrac{du}{dx}(x=0) = 0 \\[4pt] \dfrac{du}{dx}(x=1) = 2e \end{cases}$$
Задача 7.3. Решение →
$$\frac{d^2u}{dx^2} = u + 2e^x, \qquad u = u(x)$$
$$\begin{cases} \dfrac{du}{dx}(x=0) = u(x=0) + 1 \\[4pt] \dfrac{du}{dx}(x=1) = 2u(x=1) \end{cases}$$
Задача 7.4. Решение →
$$x\frac{d^2u}{dx^2} = x\frac{du}{dx} + u, \qquad u = u(x)$$
$$\begin{cases} \dfrac{du}{dx}(x=0) = 1 \\[4pt] \dfrac{du}{dx}(x=1) = 2e \end{cases}$$
Задача 7.5. Решение →
$$\frac{du}{dx} + \frac{d^2u}{dx^2} = u + e^x - e^{-x}, \qquad u = u(x)$$
$$\begin{cases} \dfrac{du}{dx}(x=0) = 0 \\[4pt] \dfrac{du}{dx}(x=1) = u(x=1) - \dfrac{2}{e} \end{cases}$$
Задача 7.6. Решение →
$$\frac{du}{dx} - \frac{d^2u}{dx^2} = 2(e^x - u), \qquad u = u(x)$$
$$\begin{cases} \dfrac{du}{dx}(x=0) = u(x=0) - 2 \\[4pt] \dfrac{du}{dx}(x=1) = e - \dfrac{1}{e} \end{cases}$$
Раздел 8
8. Записать для уравнения схему расщепления. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение. Для тех подсхем, которые решаются методом прогонки: привести к виду, удобному для использования метода прогонки; проверить сходимость прогонки; найти $\alpha_1$, $\beta_1$; найти решение на правой границе. Указать порядок аппроксимации схемы.
Задача 8.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 0.7\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) + 1, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = xy$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t \\ u(t, x=1, y) = t + y \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = x \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = x \end{cases}$$
Задача 8.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} - 2\frac{\partial u}{\partial y} = t\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - t, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = -xy$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = t \\[4pt] u(t, x=1, y) = 2t - y \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = t \\[4pt] u(t, x, y=1) = 2t - x \end{cases}$$
Задача 8.3. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 0.5\frac{\partial u}{\partial y} + 2uy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 2x, \qquad u(t, x, y=1) = t + 2x$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = u(t, x=0, y) \\[4pt] u(t, x=1, y) = ty + 2 \end{cases}$$
Задача 8.4. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 5\frac{\partial u}{\partial y} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - tu^2, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = xy$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = t + y \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = tx \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 2t\,u(t, x, y=1) \end{cases}$$
Задача 8.5. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = 2\frac{\partial u}{\partial y} + 0.8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = xy, \qquad u(t, x=0, y) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 0 \end{cases}$$
Задача 8.6. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x} = y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - tu, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = u(t, x=0, y) - 2t \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = u(t, x=1, y) - 2t \end{cases}$$
Задача 8.7. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 6\frac{\partial u}{\partial x} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 7\frac{\partial u}{\partial y} - tu^3, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0, \qquad u(t, x, y=0) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 3u(t, x=1, y) - 5t \end{cases}$$
Задача 8.8. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 6\frac{\partial u}{\partial y} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$
Задача 8.9. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 3\frac{\partial u}{\partial x} - t\frac{\partial u}{\partial z} = 7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 9\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 13u, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$
Задача 8.10. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} - 3\frac{\partial u}{\partial y} - z\frac{\partial u}{\partial z} = 8xy\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + t^2, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$u(t, x=0, y, z) = 0 \qquad u(t, x, y=1, z) = t^2 xz \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = t^2 xy \end{cases}$$
Задача 8.11. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 5\frac{\partial u}{\partial z} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 18\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad u(t, x, y, z=1) = txy$$
Задача 8.12. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - t\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} + y\frac{\partial u}{\partial z} = z\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad u(t, x, y=1, z) = txz \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$
Задача 8.13. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 4\frac{\partial u}{\partial x} + 11\frac{\partial u}{\partial y} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 3tx, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$u(t, x=1, y, z) = tyz \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$
Задача 8.14. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} - 2\frac{\partial u}{\partial y} + 9\frac{\partial u}{\partial z} = 5\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 7\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad u(t, x, y, z=0) = 0$$
Задача 8.15. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 2\frac{\partial u}{\partial x} + 4\frac{\partial u}{\partial z} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 9t, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$u(t, x=1, y, z) = tyz \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad u(t, x, y, z=0) = 0$$
Задача 8.16. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 2\frac{\partial u}{\partial x} + 3\frac{\partial u}{\partial y} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 4uy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad u(t, x, y=0, z) = 0 \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$
Раздел 9
9. Записать для уравнения схему переменных направлений. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение. Для тех подсхем, которые решаются методом прогонки: привести к виду, удобному для использования метода прогонки; проверить сходимость прогонки; найти $\alpha_1$, $\beta_1$; найти решение на правой границе. Указать порядок аппроксимации схемы.
Задача 9.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 0.3\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) + 1, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = xy$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t \\ u(t, x=1, y) = t + y \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = x \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = x \end{cases}$$
Задача 9.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - t\frac{\partial u}{\partial x} + 2t\frac{\partial u}{\partial y} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + t, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = 2t \\[4pt] u(t, x=1, y) = 2t(1+y) \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = 2t \\[4pt] u(t, x, y=1) = 2t(1+x) \end{cases}$$
Задача 9.3. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 5\frac{\partial u}{\partial y} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 7\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - tu^2, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = ty \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = 2t\,u(t, x, y=0) \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = tx \end{cases}$$
Задача 9.4. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} + 3\frac{\partial u}{\partial y} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 9t^2, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = t \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 1 + t \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = t \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 1 + t \end{cases}$$
Задача 9.5. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - tu, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 5u(t, x=1, y) - 3t \end{cases}$$
Задача 9.6. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 6\frac{\partial u}{\partial x} + 7\frac{\partial u}{\partial y} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - tu^3, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0, \qquad u(t, x, y=1) = tx$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = u(t, x=0, y) + 2t \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = u(t, x=1, y) + 2t \end{cases}$$
Задача 9.7. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y} + 2uy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 2x, \qquad u(t, x, y=1) = t + 2x$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = u(t, x=0, y) \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = t \end{cases}$$
Задача 9.8. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 5t\frac{\partial u}{\partial x} + 6t\frac{\partial u}{\partial y} + 7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 12tu, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 1$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 1 \\ u(t, x=1, y) = ty + 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = u(t, x, y=0) + 5 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 2u(t, x, y=1) - 7 \end{cases}$$
Задача 9.9. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = y\frac{\partial u}{\partial x} - 2t\frac{\partial u}{\partial y} + 8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 3x, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0, \qquad u(t, x=1, y) = ty$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = x\,u(t, x, y=1) - t^2 \end{cases}$$
Задача 9.10. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = -2\frac{\partial u}{\partial y} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = y^2, \qquad u(t, x=0, y) = y^2$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 1 \end{cases}$$
Задача 9.11. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial u}{\partial x} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 18\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + txy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = u(t, x, y=0) \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 0 \end{cases}$$
Задача 9.12. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3\frac{\partial u}{\partial y} - 2u^2, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = x + y^2, \qquad u(t, x, y=0) = t + x$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = 2y \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 2y\,u(t, x=1, y) \end{cases}$$
Задача 9.13. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial u}{\partial x} + 4\frac{\partial u}{\partial y} + t\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + txy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0, \qquad u(t, x=1, y) = ty$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 3u(t, x, y=1) \end{cases}$$
Задача 9.14. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 0.8t\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0) = t \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 2tx \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = 6u(t, x=0, y) \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 0 \end{cases}$$
Задача 9.15. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 5\frac{\partial u}{\partial y} = 9\frac{\partial u}{\partial x} + 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 7t\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 3u, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 3xy$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 2u(t, x=1, y) - 3 \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = 0 \\[4pt] u(t, x, y=1) = t + 3x \end{cases}$$
Раздел 10
10. Записать для уравнения схему предиктор-корректор. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение. Указать порядок аппроксимации схемы.
Задача 10.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - tu^3, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = 2u(t, x=0, y) + 3 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 2u(t, x=1, y) + 3 \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx \end{cases}$$
Задача 10.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 8t\frac{\partial u}{\partial y} + 5t, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = 2u(t, x=0, y) \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 2u(t, x=1, y) \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = t \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = t \end{cases}$$
Задача 10.3. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - t\frac{\partial u}{\partial x} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - t\frac{\partial u}{\partial y} + 3u^2(xy+1), \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$u(t, x=1, y) = ty + 1 \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx + 1 \end{cases}$$
Задача 10.4. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 12\frac{\partial u}{\partial x} = 5\frac{\partial u}{\partial y} + 7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 11\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 13ut, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = -3$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = -3 \\ u(t, x=1, y) = ty - 3 \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = 0 \\[4pt] u(t, x, y=1) = tx - 3 \end{cases}$$
Задача 10.5. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - x\frac{\partial u}{\partial y} + tuy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0, \qquad u(t, x, y=0) = t$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 0 \end{cases}$$
Задача 10.6. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 0.3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 0.5\frac{\partial u}{\partial y} + 2t, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 0 \end{cases}$$
Задача 10.7. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + t^3, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = x + y, \qquad u(t, x=0, y) = t^3 + y$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = 3t^2 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 3t^2 \end{cases}$$
Задача 10.8. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 2t\frac{\partial u}{\partial x} = 8\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 3tu^2, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = t \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx \end{cases}$$
Задача 10.9. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 0.5\frac{\partial u}{\partial y} + 2uy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 2x, \qquad u(t, x, y=1) = t + 2x$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = u(t, x=0, y) \\[4pt] u(t, x=1, y) = ty + 2 \end{cases}$$
Задача 10.10. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - t\frac{\partial u}{\partial x} + 2t\frac{\partial u}{\partial y} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + t^2 xy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = t \\[4pt] u(t, x=1, y) = t(y+1) \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = t \\[4pt] u(t, x, y=1) = t(x+1) \end{cases}$$
Задача 10.11. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = 2\frac{\partial u}{\partial y} + 0.8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + t, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0, \qquad u(t, x=0, y) = 0$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=0) = 0 \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial y}(t, x, y=1) = 0 \end{cases}$$
Задача 10.12. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3\frac{\partial u}{\partial y} - 2u^2, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 2xy, \qquad u(t, x, y=0) = t$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=0, y) = 2y \\[4pt] \dfrac{\partial u}{\partial x}(t, x=1, y) = 2y \end{cases}$$
Задача 10.13. Решение →
$$9\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} + 7\frac{\partial u}{\partial y} - 11\frac{\partial u}{\partial z} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 3u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z} \\ u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y} \\ u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1} \end{cases}$$
Задача 10.14. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 4\frac{\partial u}{\partial x} + 5\frac{\partial u}{\partial y} + 6\frac{\partial u}{\partial z} = 7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z} \\ u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z} \\ u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1} \end{cases} \qquad u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y}$$
Задача 10.15. Решение →
$$4\frac{\partial u}{\partial t} + 7\frac{\partial u}{\partial y} - 3\frac{\partial u}{\partial z} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z} \\ u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1} \end{cases} \qquad u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z} \qquad u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1}$$
Задача 10.16. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 9\frac{\partial u}{\partial y} = 7\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 4\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z} \\ u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y} \\ u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1} \end{cases}$$
Задача 10.17. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} - 3\frac{\partial u}{\partial x} + 4\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 3u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z} \\ u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z} \\ u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1} \end{cases} \qquad u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y}$$
Задача 10.18. Решение →
$$3\frac{\partial u}{\partial t} + 2\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} + 5\frac{\partial u}{\partial z} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z} \\ u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y} \\ u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1} \end{cases}$$
Задача 10.19. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial y} - 4\frac{\partial u}{\partial z} = 5\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 5u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z} \\ u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y} \\ u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1} \end{cases}$$
Задача 10.20. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 3\frac{\partial u}{\partial x} + 9\frac{\partial u}{\partial z} = 8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1}$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z} \\ u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1} \end{cases} \qquad u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y}$$
Задача 10.21. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} + 5\frac{\partial u}{\partial x} - 4\frac{\partial u}{\partial y} = 6\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 3u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z}, \qquad u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1}$$
$$\begin{cases} u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y} \\ u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1} \end{cases}$$
Задача 10.22. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial z} = 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 7u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1}$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z} \\ u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z} \\ u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1} \end{cases}$$
Задача 10.23. Решение →
$$8\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} - 2\frac{\partial u}{\partial y} = 5\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1}$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z} \\ u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y} \\ u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1} \end{cases}$$
Задача 10.24. Решение →
$$3\frac{\partial u}{\partial t} + 2\frac{\partial u}{\partial x} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 9\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 8u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z} \\ u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y} \\ u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1} \end{cases}$$
Задача 10.25. Решение →
$$3\frac{\partial u}{\partial t} - 2\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} + 6\frac{\partial u}{\partial z} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 2u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z} \\ u(t, x=1, y, z) = e^{t+y+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z} \\ u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y} \\ u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1} \end{cases}$$
Задача 10.26. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 5\frac{\partial u}{\partial x} - 2\frac{\partial u}{\partial z} = 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 6\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 7u$$
$$u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = e^{x+y+z}, \qquad u(t, x=0, y, z) = e^{t+y+z}$$
$$\begin{cases} u(t, x, y=0, z) = e^{t+x+z} \\ u(t, x, y=1, z) = e^{t+x+z+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = e^{t+x+y} \\ u(t, x, y, z=1) = e^{t+x+y+1} \end{cases}$$
Раздел 11
11. Выбрать соответствующие уравнению граничные условия. Записать явную разностную схему. Записать условие устойчивости на шаг. Записать рекуррентное соотношение.
Задача 11.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 0.5\frac{\partial u}{\partial x} = -2\frac{\partial u}{\partial y} + xy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = ty \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx \end{cases}$$
Задача 11.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 3\frac{\partial u}{\partial x} = 4\frac{\partial u}{\partial y} + 5t, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = xy$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t \\ u(t, x=1, y) = t + y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = t \\ u(t, x, y=1) = t + x \end{cases}$$
Задача 11.3. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 0.2\frac{\partial u}{\partial x} = 0.2\frac{\partial u}{\partial y} - 0.4(x+y), \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 1$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 1 \\ u(t, x=1, y) = 1 + ty \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 1 \\ u(t, x, y=1) = 1 + tx \end{cases}$$
Задача 11.4. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 6\frac{\partial u}{\partial x} - 5\frac{\partial u}{\partial y} + 3txy, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = t \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = t \end{cases}$$
Задача 11.5. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = 4\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial z} - txyz, \qquad u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$
Задача 11.6. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 2\frac{\partial u}{\partial z} = 7\frac{\partial u}{\partial x} - 5\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$
Раздел 12
12. Выбрать соответствующие уравнению граничные условия. Записать схему расщепления. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение.
Задача 12.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - 2x\frac{\partial u}{\partial y} = y\frac{\partial u}{\partial x} + t^2, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = xy$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t^2 \\ u(t, x=1, y) = t^2 + y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = t^2 \\ u(t, x, y=1) = t^2 + x \end{cases}$$
Задача 12.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 3t\frac{\partial u}{\partial x} = 8\frac{\partial u}{\partial y} = -2u, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
Примечание: в PDF буквально два знака «=» («... = 8∂u/∂y = −2u») — вероятная опечатка оригинала (скорее всего, второе «=» должно быть «−»). Перенесено дословно.
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = 2ty \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = 2tx \end{cases}$$
Задача 12.3. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} = 0.3\frac{\partial u}{\partial x} - 0.2\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = t \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = t \end{cases}$$
Задача 12.4. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 7t\frac{\partial u}{\partial y} = txy - 6\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad u = u(t,x,y), \qquad u(t=0,x,y) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = ty \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx \end{cases}$$
Задача 12.5. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2.5\frac{\partial u}{\partial x} - 3t\frac{\partial u}{\partial y} + 5.2\frac{\partial u}{\partial z} - 1.8tu, \qquad u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$
Задача 12.6. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial y} + 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial u}{\partial x} - u, \qquad u = u(t,x,y,z), \qquad u(t=0,x,y,z) = 0$$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y, z) = 0 \\ u(t, x=1, y, z) = tyz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0, z) = 0 \\ u(t, x, y=1, z) = txz \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z=0) = 0 \\ u(t, x, y, z=1) = txy \end{cases}$$
Раздел 13. Выбрать соответствующие уравнению граничные условия. Записать схему переменных направлений. Для каждой из подсхем записать рекуррентное соотношение.
Задача 13.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 5\frac{\partial u}{\partial y} = 6\frac{\partial u}{\partial x} + t^2$$
$u = u(t, x, y)$, $u(t=0, x, y) = 0$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = t^2 y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = t^2 x \end{cases}$$
Задача 13.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2t\frac{\partial u}{\partial y} - 3t\frac{\partial u}{\partial x} + txy$$
$u = u(t, x, y)$, $u(t=0, x, y) = 0$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 0 \\ u(t, x=1, y) = t\,y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 0 \\ u(t, x, y=1) = tx \end{cases}$$
Задача 13.3. Решение →
$$\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x} + 6t\frac{\partial u}{\partial y} - 4t\,u$$
$u = u(t, x, y)$, $u(t=0, x, y) = 1$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = 1 \\ u(t, x=1, y) = 1 + t \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = 1 \\ u(t, x, y=1) = 1 + t \end{cases}$$
Задача 13.4. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 8t\frac{\partial u}{\partial x} = 9t(x+y) - 7x\frac{\partial u}{\partial y}$$
$u = u(t, x, y)$, $u(t=0, x, y) = xy$
$$\begin{cases} u(t, x=0, y) = t \\ u(t, x=1, y) = t + y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y=0) = t \\ u(t, x, y=1) = t + x \end{cases}$$
Раздел 14. Методом Рунге-Кутта 2-го порядка найти значение $u(t^0 + \tau)$.
Задача 14.1. Решение → $\dfrac{du}{dt} = e^t \cdot u$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = e$, $\quad \tau = 0{,}1$
Задача 14.2. Решение → $\dfrac{du}{dt} = t \cdot u$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Задача 14.3. Решение → $2\dfrac{du}{dt} = e^t + u$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Задача 14.4. Решение → $\dfrac{du}{dt} = 3t^2 e^t + u$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 0$, $\quad \tau = 1$
Задача 14.5. Решение → $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{u}{2t}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=1) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Задача 14.6. Решение → $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{2u}{t+3}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 9$, $\quad \tau = 1$
Задача 14.7. Решение → $\dfrac{du}{dt} = u\,t^2$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 1$
Задача 14.8. Решение → $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{3u}{t-1}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=2) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Задача 14.9. Решение → $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{3u}{t-1}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=3) = 8$, $\quad \tau = 0{,}2$
Задача 14.10. Решение → $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{t}{u}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=1) = \sqrt{2}$, $\quad \tau = 0{,}1$
Задача 14.11. Решение → $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{12\,t\,u}{2t^3 + 5}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 25$, $\quad \tau = 0{,}5$
Задача 14.12. Решение → $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{2u}{t-4}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 4$, $\quad \tau = 0{,}2$
Задача 14.13. Решение → $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{2u + 2u\,e^t}{t + e^t}$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Задача 14.14. Решение → $\dfrac{du}{dt} = e^t$, $\quad u = u(t)$, $\quad u(t=0) = 1$, $\quad \tau = 0{,}1$
Раздел 15. Привести уравнения математической модели процесса к безразмерному виду. Определить неизвестные характерные параметры процесса. Обосновать целесообразность обезразмеривания.
Задача 15.1. Решение → $\dfrac{\partial c}{\partial t} = D\dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2} - k\,c.$ $\quad$ Определить $D_0$, $k_0$.
Задача 15.2. Решение → $\dfrac{\partial c}{\partial t} = D\dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2} - k\,c^2.$ $\quad$ Определить $D_0$, $k_0$.
Задача 15.3. Решение → $\dfrac{\partial c}{\partial t} + v\dfrac{\partial c}{\partial x} = -k\,c.$ $\quad$ Определить $v_0$, $k_0$.
Задача 15.4. Решение → $\dfrac{\partial c}{\partial t} + v\dfrac{\partial c}{\partial x} = -k\,c^2.$ $\quad$ Определить $v_0$, $k_0$.
Задача 15.5. Решение → $\dfrac{\partial c}{\partial t} + v\dfrac{\partial c}{\partial x} = D\dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2} - k\,c.$ $\quad$ Определить $v_0$, $D_0$, $k_0$.
Задача 15.6. Решение → $\dfrac{\partial c}{\partial t} + v\dfrac{\partial c}{\partial x} = D\dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2} - k\,c^2.$ $\quad$ Определить $v_0$, $D_0$, $k_0$.
Задача 15.7. Решение → $\dfrac{dc}{dt} = -\displaystyle\int\limits_0^R \rho_2^0\, f\, \eta\, dr, \quad \dfrac{\partial f}{\partial t} + \eta\,\dfrac{\partial f}{\partial r} = 0.$ $\quad$ Определить $\eta_0$, $f_0$.
Задача 15.8. Решение → $\dfrac{\partial c}{\partial t} = D_L \dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2} + D_R \dfrac{\partial^2 c}{\partial r^2} + \dfrac{D_R}{r}\dfrac{\partial c}{\partial r} - k\,c.$ $\quad$ Определить $D_{L_0}$, $D_{R_0}$, $k_0$.
Задача 15.9. Решение → $\dfrac{\partial c}{\partial t} + v\dfrac{\partial c}{\partial x} = D_L \dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2} + D_R \dfrac{\partial^2 c}{\partial r^2} + \dfrac{D_R}{r}\dfrac{\partial c}{\partial r} - k\,c.$
Определить $v_0$, $D_{L_0}$, $D_{R_0}$, $k_0$.
Задача 15.10. Решение → $\dfrac{\partial c}{\partial t} + v\dfrac{\partial c}{\partial x} = D_L \dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2} + D_R \dfrac{\partial^2 c}{\partial r^2} + \dfrac{D_R}{r}\dfrac{\partial c}{\partial r} - k\,c^2.$
Определить $v_0$, $D_{L_0}$, $D_{R_0}$, $k_0$.
Раздел 16. Записать неявную разностную схему для системы уравнений.
Задача 16.1. Решение → $\dfrac{\partial u}{\partial t} = 0.3\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2uv$ $\qquad$ $\dfrac{\partial v}{\partial t} = 0.2\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2} - 2uv$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.2. Решение → $\dfrac{\partial u}{\partial t} = 0.5\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3u^2 v$ $\qquad$ $\dfrac{\partial v}{\partial t} = 0.7\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 3u^2 v$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.3. Решение → $x\dfrac{\partial u}{\partial t} + x\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v - x^2$ $\qquad$ $t\dfrac{\partial v}{\partial t} + t\dfrac{\partial v}{\partial x} = u - t^2$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.4. Решение → $\dfrac{\partial u}{\partial t} + \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v$ $\qquad$ $\dfrac{\partial v}{\partial t} = \dfrac{\partial v}{\partial x} + tx - u$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.5. Решение → $2\dfrac{\partial u}{\partial t} + t\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v - 2t$ $\qquad$ $x\dfrac{\partial v}{\partial t} + \dfrac{\partial v}{\partial x} = 2u + 2x$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.6. Решение → $t\dfrac{\partial u}{\partial t} - 2x\dfrac{\partial u}{\partial x} = 2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v$ $\qquad$ $t\dfrac{\partial v}{\partial t} = 2x\dfrac{\partial v}{\partial x} + u$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.7. Решение → $t\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v\,e^t$ $\qquad$ $e^t\dfrac{\partial v}{\partial t} - \dfrac{\partial v}{\partial x} = u - t$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.8. Решение → $\dfrac{\partial u}{\partial t} = x\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + e^x(1 - v)$ $\qquad$ $\dfrac{\partial v}{\partial t} - e^x\dfrac{\partial v}{\partial x} = x - u$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.9. Решение → $\dfrac{\partial u}{\partial t} + \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v - t$ $\qquad$ $x\dfrac{\partial v}{\partial t} + t\dfrac{\partial v}{\partial x} = u$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.10. Решение → $x\left(\dfrac{\partial u}{\partial t} + \dfrac{\partial u}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v$ $\qquad$ $\dfrac{\partial v}{\partial t} + t\dfrac{\partial v}{\partial x} = 2u + t$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.11. Решение → $x\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v - 2$ $\qquad$ $\dfrac{\partial v}{\partial t} + x\dfrac{\partial v}{\partial x} = 2x(u - x^2)$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Задача 16.12. Решение → $e^x\dfrac{\partial u}{\partial t} + e^t\dfrac{\partial u}{\partial x} = e^t\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2v$ $\qquad$ $\dfrac{\partial v}{\partial t} + t e^{-x}\dfrac{\partial v}{\partial x} = u$ $\qquad$ $u = u(t,x)$, $v = v(t,x)$
Раздел 17. Выбрать метод численного решения для уравнений. Обосновать выбор.
Задача 17.1. Решение → $3\dfrac{d^2 u}{dx^2} = 2u + x^2;$ $\qquad$ $3\dfrac{d^2 u}{dx^2} = -2u + x^2;$ $\qquad$ $u = u(x).$
Задача 17.2. Решение → $8\dfrac{du}{dx} + 0.7\dfrac{d^2 u}{dx^2} + 4u = 0;$ $\qquad$ $8\dfrac{du}{dx} + 0.7\dfrac{d^2 u}{dx^2} - 4u = 0;$ $\qquad$ $u = u(x).$
Задача 17.3. Решение → $0.2\dfrac{d^2 u}{dx^2} = 5\dfrac{du}{dx} - 6u\,x;$ $\qquad$ $0.2\dfrac{d^2 u}{dx^2} = 5\dfrac{du}{dx} + 6u\,x;$ $\qquad$ $u = u(x).$
Задача 17.4. Решение → $7\dfrac{d^2 u}{dx^2} = 6u + x^2 e^x;$ $\qquad$ $7\dfrac{d^2 u}{dx^2} = x^2 e^x;$ $\qquad$ $u = u(x).$
Задача 17.5. Решение → $6\dfrac{du}{dx} + 0.3\dfrac{d^2 u}{dx^2} - 5x = 0;$ $\qquad$ $6\dfrac{du}{dx} + 0.3\dfrac{d^2 u}{dx^2} - 5x = u;$ $\qquad$ $u = u(x).$
Задача 17.6. Решение → $6\dfrac{du}{dx} + 0.3\dfrac{d^2 u}{dx^2} - 5x = 0;$ $\qquad$ $6\dfrac{du}{dx} + 0.3\dfrac{d^2 u}{dx^2} - 5x = u^2;$ $\qquad$ $u = u(x).$
Задача 17.7. Решение → $6\dfrac{du}{dx} + 0.3\dfrac{d^2 u}{dx^2} - 5x = u;$ $\qquad$ $6\dfrac{du}{dx} + 0.3\dfrac{d^2 u}{dx^2} - 5x = u^2;$ $\qquad$ $u = u(x).$
Задача 17.8. Решение → $9\dfrac{du}{dx} + 0.2\dfrac{d^2 u}{dx^2} = u^2 + 2x;$ $\qquad$ $9\dfrac{du}{dx} + 0.2\dfrac{d^2 u}{dx^2} = -u^2 - 2x;$ $\qquad$ $u = u(x).$
Задача 17.9. Решение →
$$\frac{du}{dx} = 2\frac{d^2 u}{dx^2} + 7x; \qquad u = u(x).$$
$$\frac{\partial u}{\partial y} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 7x; \qquad u = u(x, y).$$
Задача 17.10. Решение →
$$\frac{d^2 u}{dx^2} = \frac{3x^2 - 2}{e^x}; \qquad u = u(x).$$
$$2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{3x^2 - 2y^2}{e^{xy}}; \qquad u = u(x, y).$$
Раздел 18. Привести уравнение к виду, удобному для использования метода простой итерации. Записать выражение для шага итерации. Записать итерационное соотношение, учитывая шаг итерации. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение.
Задача 18.1. Решение → $2\dfrac{d^2 u}{dx^2} = e^x (x-1)$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = 0$ $\qquad$ $u(x=1) = e$
Задача 18.2. Решение → $2\dfrac{du}{dx} = \dfrac{d^2 u}{dx^2} + 4x$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = 0$ $\qquad$ $u(x=1) = 2$
Задача 18.3. Решение → $\dfrac{du}{dx} + \dfrac{d^2 u}{dx^2} + 2x = 0$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = 0$ $\qquad$ $u(x=1) = 1$
Задача 18.4. Решение → $\dfrac{du}{dx} = x\dfrac{d^2 u}{dx^2}$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = 2$ $\qquad$ $u(x=1) = 1$
Задача 18.5. Решение → $\dfrac{du}{dx} + \dfrac{d^2 u}{dx^2} = 3(2 - x^2)$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = 0$ $\qquad$ $u(x=1) = 2$
Задача 18.6. Решение → $2\dfrac{du}{dx} = x\dfrac{d^2 u}{dx^2} + 2$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = 0$ $\qquad$ $u(x=1) = 2$
Задача 18.7. Решение → $\dfrac{d^2 u}{dx^2} = e^{-x}(2 + x^2)$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = 0$ $\qquad$ $u(x=1) = \dfrac{1}{e}$
Задача 18.8. Решение → $\dfrac{d^2 u}{dx^2} = \dfrac{du}{dx} + 2x e^{x+1}$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = e$ $\qquad$ $u(x=1) = 0$
Задача 18.9. Решение → $\dfrac{d^2 u}{dx^2} + 2\dfrac{du}{dx} = 0$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = e^3$ $\qquad$ $u(x=1) = e$
Задача 18.10. Решение → $\dfrac{d^2 u}{dx^2} - \dfrac{du}{dx} = e^x$ $\qquad$ $u = u(x)$ $\qquad$ $u(x=0) = 0$ $\qquad$ $u(x=1) = e$
Раздел 19. Привести уравнение к виду, удобному для использования метода установления с применением неявной разностной схемы. Проверить сходимость прогонки. Записать итерационное соотношение. Найти $\alpha_1$, $\beta_1$, $u_N$. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение.
Задача 19.1. Решение → $\dfrac{d^2 u}{dx^2} - \dfrac{du}{dx} = e^x$ $\qquad$ $u = u(x)$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = u(x=0) + 1 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 2e$$
Задача 19.2. Решение → $2\dfrac{du}{dx} = \dfrac{d^2 u}{dx^2} + u$ $\qquad$ $u = u(x)$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 1 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 2u(x=1)$$
Задача 19.3. Решение → $\dfrac{du}{dx} + \dfrac{d^2 u}{dx^2} + 2x = 0$ $\qquad$ $u = u(x)$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 2 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 0$$
Задача 19.4. Решение → $-\dfrac{du}{dx} + x\dfrac{d^2 u}{dx^2} = 3x^2$ $\qquad$ $u = u(x)$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 0 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 2u(x=1) + 1$$
Задача 19.5. Решение → $x\left(\dfrac{du}{dx} + 4\right) = \dfrac{1}{3}\dfrac{d^2 u}{dx^2} + u$ $\qquad$ $u = u(x)$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 3u(x=0) + 1 \qquad u(x=1) = 2$$
Задача 19.6. Решение → $x\left(\dfrac{du}{dx} - \dfrac{d^2 u}{dx^2}\right) = 2u$ $\qquad$ $u = u(x)$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 4u(x=0) + 2 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 0$$
Задача 19.7. Решение → $\dfrac{d^2 u}{dx^2} + 5\dfrac{du}{dx} = 3x(2 - u)$ $\qquad$ $u = u(x)$
$$u(x=0) = 1 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 3u(x=1) - 2$$
Задача 19.8. Решение → $3\dfrac{du}{dx} = 4\dfrac{d^2 u}{dx^2} - 6(ux + 2)$ $\qquad$ $u = u(x)$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 3u(x=0) \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 3u(x=1)$$
Транскрипция страниц 35–42 (печатная нумерация) PDF zadachnik.pdf. Примечание: в оригинале разделы не имеют отдельных названий — каждый раздел начинается с формулировки общего задания, она приведена дословно.
Раздел 20
20. Привести уравнение к виду, удобному для использования метода установления с применением схемы Кранка–Николсона. Проверить сходимость прогонки. Записать итерационное соотношение. Найти $\alpha_1$, $\beta_1$. Найти $u_N$. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение.
Задача 20.1. Решение →
$$\frac{d^2 u}{dx^2} - \frac{du}{dx} = e^x \qquad u = u(x)$$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = u(x=0) + 1 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 2e$$
Задача 20.2. Решение →
$$2\frac{du}{dx} = \frac{d^2 u}{dx^2} + u \qquad u = u(x)$$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 1 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 2u(x=1)$$
Задача 20.3. Решение →
$$\frac{du}{dx} + \frac{d^2 u}{dx^2} + 2x = 0 \qquad u = u(x)$$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 2 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 0$$
Задача 20.4. Решение →
$$-\frac{du}{dx} + x\frac{d^2 u}{dx^2} = 3x^2 \qquad u = u(x)$$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 0 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = 2u(x=1) + 1$$
Задача 20.5. Решение →
$$2\left(\frac{du}{dx} - 1\right) = x\frac{d^2 u}{dx^2} \qquad u = u(x)$$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 3u(x=0) + 1 \qquad u(x=1) = 2$$
Задача 20.6. Решение →
$$\frac{du}{dx} - x\frac{d^2 u}{dx^2} = 2 \qquad u = u(x)$$
$$\frac{du}{dx}(x=0) = 4u(x=0) + 2 \qquad \frac{du}{dx}(x=1) = u(x=1) - 1$$
Раздел 21
21. Привести уравнение к виду, удобному для использования метода простой итерации. Записать выражение для шага итерации. Записать итерационное соотношение, учитывая шаг итерации. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение.
Задача 21.1. Решение →
$$\frac{1}{6}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) = 2x + 1 \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = 3y^2 \\ u(x=1,\,y) = 3y^2 + 2 \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x,\,y=0) = 2x^3 \\ u(x,\,y=1) = 2x^3 + 3 \end{cases}$$
Задача 21.2. Решение →
$$0.5\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) = x + y \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = 0 \\ u(x=1,\,y) = y^2 + y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x,\,y=0) = 0 \\ u(x,\,y=1) = x^2 + x \end{cases}$$
Задача 21.3. Решение →
$$1.5\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) = x + 3 \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = 0 \\ u(x=1,\,y) = 1 + y^2/3 \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x,\,y=0) = x^2 \\ u(x,\,y=1) = x^2 + x/3 \end{cases}$$
Задача 21.4. Решение →
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{2x}{(y+1)^3} \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = 0 \\ u(x=1,\,y) = \dfrac{1}{y+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x,\,y=0) = x \\ u(x,\,y=1) = 0.5x \end{cases}$$
Задача 21.5. Решение →
$$1.75\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) = 7 \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = y^2 \\ u(x=1,\,y) = (y-1)^2 \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x,\,y=0) = x^2 \\ u(x,\,y=1) = (x-1)^2 \end{cases}$$
Раздел 22
22. Привести уравнение к виду, удобному для использования метода установления с применением схемы расщепления. Для каждой из подсхем: проверить сходимость прогонки; записать итерационное соотношение; найти $\alpha_1$, $\beta_1$; найти решение на правой границе. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение.
Задача 22.1. Решение →
$$2y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3x\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 5y\frac{\partial u}{\partial y} = xy + 4u \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=0,\,y) = y \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=1,\,y) = u(x=1,\,y) \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x,\,y=0) = 0 \\ u(x,\,y=1) = x \end{cases}$$
Задача 22.2. Решение →
$$0.6\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) = 3\frac{\partial u}{\partial x} + 7uy \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = 0 \\ u(x=1,\,y) = y \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=0) = x \\ \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=1) = u(x,\,y=1) \end{cases}$$
Задача 22.3. Решение →
$$-4\frac{\partial u}{\partial y} + 9\frac{\partial u}{\partial x} + 0.8\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 1.3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 7.1 e^{x+y} \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=0,\,y) = u(x=0,\,y) \\ u(x=1,\,y) = e^{y+1} \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=0) = u(x,\,y=0) \\ u(x,\,y=1) = e^{x+1} \end{cases}$$
Задача 22.4. Решение →
$$2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 7\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 5\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial x}\right) + 10(u + 2xy - 1) \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = y \\ u(x=1,\,y) = 1 - y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x,\,y=0) = x \\ u(x,\,y=1) = 1 - x \end{cases}$$
Задача 22.5. Решение →
$$0.3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 0.5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 7\frac{\partial u}{\partial x} - 11\frac{\partial u}{\partial y} + xy(2u - 1) \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = y \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=1,\,y) = y \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x,\,y=0) = x \\ \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=1) = x \end{cases}$$
Задача 22.6. Решение →
$$0.4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 0.5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 0.7\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + 6\frac{\partial u}{\partial z} - 9\frac{\partial u}{\partial y} = 8y(xu + z) \qquad u = u(x,y,z)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y,\,z) = zy \\ u(x=1,\,y,\,z) = z(y+1) \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y=0,\,z) = zx \\ u(x,\,y=1,\,z) = z(x+1) \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y,\,z=0) = 0 \\ u(x,\,y,\,z=1) = x + y \end{cases}$$
Задача 22.7. Решение →
$$0.1\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) = -3\frac{\partial u}{\partial y} + 2\frac{\partial u}{\partial z} - 5x(1 - uyz) \qquad u = u(x,y,z)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y,\,z) = 0 \\ u(x=1,\,y,\,z) = yz \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y=0,\,z) = 0 \\ u(x,\,y=1,\,z) = xz \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y,\,z=0) = 0 \\ u(x,\,y,\,z=1) = xy \end{cases}$$
Задача 22.8. Решение →
$$3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 7\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 8\frac{\partial u}{\partial z} = 2\frac{\partial u}{\partial x} + 9(u + yz - 4xy) \qquad u = u(x,y,z)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y,\,z) = -yz \\ u(x=1,\,y,\,z) = (4-z)y \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y=0,\,z) = 0 \\ u(x,\,y=1,\,z) = 4x - z \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y,\,z=0) = 4xy \\ u(x,\,y,\,z=1) = 4xy - y \end{cases}$$
Задача 22.9. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial x} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 8\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 11\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 5\frac{\partial u}{\partial y} + 3z(xy + u) \qquad u = u(x,y,z)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y,\,z) = 0 \\ u(x=1,\,y,\,z) = yz \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y=0,\,z) = 0 \\ u(x,\,y=1,\,z) = xz \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y,\,z=0) = 0 \\ u(x,\,y,\,z=1) = xy \end{cases}$$
Задача 22.10. Решение →
$$0.2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 0.5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 1.3\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 2\frac{\partial u}{\partial x} - 2zy \qquad u = u(x,y,z)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y,\,z) = 0 \\ u(x=1,\,y,\,z) = yz \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y=0,\,z) = 0 \\ u(x,\,y=1,\,z) = xz \end{cases} \quad \begin{cases} u(x,\,y,\,z=0) = 0 \\ u(x,\,y,\,z=1) = xy \end{cases}$$
Раздел 23
23. Привести уравнение к виду, удобному для использования метода установления с применением схемы переменных направлений. Для каждой из подсхем: проверить сходимость прогонки; записать итерационное соотношение; найти $\alpha_1$, $\beta_1$; найти решение на правой границе. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение.
Задача 23.1. Решение →
$$2y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3x\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 5y\frac{\partial u}{\partial y} = xy + 4u \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = 0 \\ u(x=1,\,y) = y \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=0) = x \\ \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=1) = u(x,\,y=1) \end{cases}$$
Задача 23.2. Решение →
$$-\frac{\partial u}{\partial y} + 5\frac{\partial u}{\partial x} + 0{,}8\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 1{,}2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 7u \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=0,\,y) = u(x=0,\,y) \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=1,\,y) = u(x=1,\,y) \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x,\,y=0) = e^x \\ u(x,\,y=1) = e^{x+1} \end{cases}$$
Задача 23.3. Решение →
$$2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + 2(u + 2xy - 1) \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=0,\,y) = 1 - 2y \\ u(x=1,\,y) = 1 - y \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=0) = 1 - 2x \\ u(x,\,y=1) = 1 - x \end{cases}$$
Задача 23.4. Решение →
$$4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 7\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2\frac{\partial u}{\partial x} - 3\frac{\partial u}{\partial y} + 6x(u - 3x - 2y) \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=0,\,y) = 3 \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=1,\,y) = 3 \end{cases} \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=0) = 2 \\ \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=1) = 2 \end{cases}$$
Задача 23.5. Решение →
$$5\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 6\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - 2xy\frac{\partial u}{\partial x} + 2uy = 0 \qquad u = u(x,y)$$
$$\begin{cases} u(x=0,\,y) = 0 \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(x=1,\,y) = u(x=1,\,y) \end{cases} \qquad \begin{cases} 3\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=0) = u(x,\,y=0) \\ 4\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,\,y=1) = u(x,\,y=1) \end{cases}$$
Раздел 24
24. Построить тестовую задачу для проверки устойчивости разностной схемы, аппроксимирующей уравнение.
Задача 24.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + x\frac{\partial u}{\partial x} = e^t \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2xe^t \qquad \begin{aligned} u &= u(t,x) \\ u(t=0,\,x) &= x \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = 0 \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\,x=1) = u(t,\,x=1) \end{cases}$$
Задача 24.2. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2(u + e^x) \qquad \begin{aligned} u &= u(t,x) \\ u(t=0,\,x) &= 0 \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = t \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\,x=1) = u(t,\,x=1) \end{cases}$$
Задача 24.3. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + e^x(2t + 1) \qquad \begin{aligned} u &= u(t,x) \\ u(t=0,\,x) &= 0 \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = t \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\,x=1) = u(t,\,x=1) \end{cases}$$
Задача 24.4. Решение →
$$\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - kc \qquad \begin{aligned} c &= c(t,x) \\ c(t=0,\,x) &= c^0(x) \end{aligned} \qquad \begin{cases} c(t,\,x=0) = c_1(t) \\ c(t,\,x=1) = c_2(t) \end{cases}$$
Задача 24.5. Решение →
$$\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - kc^2 \qquad \begin{aligned} c &= c(t,x) \\ c(t=0,\,x) &= c^0(x) \end{aligned} \qquad \begin{cases} c(t,\,x=0) = c_1(t) \\ c(t,\,x=1) = c_2(t) \end{cases}$$
Задача 24.6. Решение →
$$3\frac{\partial u}{\partial t} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3u \qquad \begin{aligned} u &= u(t,x) \\ u(t=0,\,x) &= x \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = t \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\,x=1) = u(t,\,x=1) \end{cases}$$
Задача 24.7. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 2\left(\frac{\partial u}{\partial x} - u\right) + e^x \qquad \begin{aligned} u &= u(t,x) \\ u(t=0,\,x) &= 0 \end{aligned} \qquad u(t,\,x=1) = te$$
Задача 24.8. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = u(2x + 3t) \qquad \begin{aligned} u &= u(t,x) \\ u(t=0,\,x) &= 1 \end{aligned} \qquad u(t,\,x=0) = 1$$
Задача 24.9. Решение →
$$2\left(\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x} + 2t + 1\right) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \qquad \begin{aligned} u &= u(t,x) \\ u(t=0,\,x) &= x^2 \end{aligned}$$
$$\begin{cases} u(t,\,x=0) = 0 \\ \dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\,x=1) = u(t,\,x=1) \end{cases}$$
Раздел 25
25. Построить тестовую задачу для проверки устойчивости разностной схемы, аппроксимирующей систему уравнений.
Задача 25.1. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v \qquad\qquad \frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial v}{\partial x} + tx - u$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= 0 \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= x \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = 0 \\ u(t,\,x=1) = t \end{cases} \qquad v(t,\,x=1) = t + 1$$
Задача 25.2. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2(v - 1) \qquad\qquad \frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial v}{\partial x} + t^2 + x^2 - u$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= x^2 \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= x \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = t^2 \\ u(t,\,x=1) = t^2 + 1 \end{cases} \qquad v(t,\,x=1) = t + 1$$
Задача 25.3. Решение →
$$t\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + ve^t \qquad\qquad e^t\frac{\partial v}{\partial t} - \frac{\partial v}{\partial x} = u - t$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= x \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= 0 \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = 0 \\ u(t,\,x=1) = e^t \end{cases} \qquad v(t,\,x=1) = t$$
Задача 25.4. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v - t \qquad\qquad x\frac{\partial v}{\partial t} + t\frac{\partial v}{\partial x} = u$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= x \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= e^x + 1 \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = t \\ u(t,\,x=1) = et + 1 \end{cases} \qquad v(t,\,x=0) = t + 2$$
Задача 25.5. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + e^x(1 - v) \qquad\qquad \frac{\partial v}{\partial t} - e^x\frac{\partial v}{\partial x} = x - u$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= 0 \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= 0 \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = t \\ u(t,\,x=1) = et \end{cases} \qquad v(t,\,x=1) = t$$
Задача 25.6. Решение →
$$x\left(\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v \qquad\qquad \frac{\partial v}{\partial t} + t\frac{\partial v}{\partial x} = 2u + t$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= x \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= x \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = t^2 \\ u(t,\,x=1) = t^2 + 1 \end{cases} \qquad v(t,\,x=0) = 0$$
Задача 25.7. Решение →
$$2\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v - 2t \qquad\qquad x\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} = 2(u + x)$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= x^2 \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= 0 \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = t \\ u(t,\,x=1) = t + 1 \end{cases} \qquad v(t,\,x=0) = 2t$$
Задача 25.8. Решение →
$$x\left(\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} + x\right) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v \qquad\qquad t\left(\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} + t\right) = u$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= 0 \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= 2x \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = 2t \\ u(t,\,x=1) = t \end{cases} \qquad v(t,\,x=0) = 0$$
Задача 25.9. Решение →
$$x\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v - 2 \qquad\qquad \frac{\partial v}{\partial t} + x\frac{\partial v}{\partial x} = 2x(u - x^2)$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= x^2 + 1 \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= x \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = e^t \\ u(t,\,x=1) = e^t + 1 \end{cases} \qquad v(t,\,x=0) = 0$$
Задача 25.10. Решение →
$$e^x\frac{\partial u}{\partial t} + e^t\frac{\partial u}{\partial x} = e^t\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2v \qquad\qquad \frac{\partial v}{\partial t} + te^{-x}\frac{\partial v}{\partial x} = u$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= e^x \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= 0 \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = t^2 + 1 \\ u(t,\,x=1) = t^2 + e \end{cases} \qquad v(t,\,x=0) = t$$
Задача 25.11. Решение →
$$t\frac{\partial u}{\partial t} - 2x\frac{\partial u}{\partial x} = 2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + v \qquad\qquad t\frac{\partial v}{\partial t} = 2x\frac{\partial v}{\partial x} + u$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= 0 \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= 0 \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = 2t \\ u(t,\,x=1) = 3t \end{cases} \qquad v(t,\,x=1) = t$$
Задача 25.12. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - v + t + e^t \qquad\qquad e^t\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} = u$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= e^x + 1 \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= e^x \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = e^t + 1 \\ u(t,\,x=1) = e^t + e \end{cases} \qquad v(t,\,x=0) = t + 1$$
Задача 25.13. Решение →
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x(v - tx) \qquad\qquad x\frac{\partial v}{\partial t} + t\frac{\partial v}{\partial x} = u + x^2 + t^2 - x$$
$$\begin{aligned} u &= u(t,x) & u(t=0,\,x) &= 2x \\ v &= v(t,x) & v(t=0,\,x) &= 1 \end{aligned} \qquad \begin{cases} u(t,\,x=0) = 0 \\ u(t,\,x=1) = e^t + 1 \end{cases} \qquad v(t,\,x=0) = e^t$$