Раздел 1. Определить тип уравнения при k > 0, k = 0, k < 0

Уравнение $2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + k\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ зависит от двух переменных $x,y$. Приводим к общему виду $a_{11}u_{xx} + 2a_{12}u_{xy} + a_{22}u_{yy} = f$:

$$a_{11}=2,\qquad a_{12}=0,\qquad a_{22}=k.$$

Дискриминант:

$$D=a_{12}^2-a_{11}a_{22}=0^2-2\cdot k=-2k.$$

Рассматриваем три случая:

• $k>0$: $\;D=-2k<0\;\Rightarrow\;$ эллиптический тип. Например, при $k=1$: $D=-2<0$.
• $k=0$: уравнение вырождается в $2u_{xx}=0$; $a_{11}=2,\,a_{12}=0,\,a_{22}=0$, $\;D=0^2-2\cdot0=0\;\Rightarrow\;$ параболический тип.
• $k<0$: $\;D=-2k>0\;\Rightarrow\;$ гиперболический тип. Например, при $k=-1$: $D=2>0$.

Уравнение $\dfrac{\partial u}{\partial t} + 3\dfrac{\partial u}{\partial x} = k\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ зависит от трёх переменных $t,x,y$. Единственная производная 2-го порядка — $u_{yy}$ (при $k\neq0$); по переменным $t$ и $x$ входят только первые производные. Тип определяем по правилам для многомерных уравнений.

Запишем 2-й порядок как $a_{yy}u_{yy}$ с $a_{yy}=k$, остальные коэффициенты при вторых производных равны нулю.

• $k>0$: присутствует производная $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ (процесс нестационарный), вторая производная есть только по $y$, а по $t$ и $x$ вторые производные отсутствуют $\;\Rightarrow\;$ по правилу «отсутствует вторая производная хотя бы по одной переменной» уравнение параболического типа.
• $k=0$: уравнение вырождается в $\dfrac{\partial u}{\partial t}+3\dfrac{\partial u}{\partial x}=0$ — вторых производных нет вообще, это уравнение 1-го порядка (уравнение переноса), и классификация по дискриминанту 2-го порядка к нему не применяется.
• $k<0$: по-прежнему есть только одна вторая производная $u_{yy}$ (по $t$ и $x$ они отсутствуют) и присутствует $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ $\;\Rightarrow\;$ параболический тип (отрицательный коэффициент даёт «обратное» уравнение, но тип не меняется).

Уравнение $k\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 5\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 6\dfrac{\partial u}{\partial x}$ зависит от двух переменных $x,y$. Правая часть $6u_x$ — это $f(x,y,u,u_x',u_y')$, на тип не влияет. Коэффициенты при вторых производных:

$$a_{11}=k,\qquad a_{12}=0,\qquad a_{22}=5.$$

Дискриминант:

$$D=a_{12}^2-a_{11}a_{22}=0^2-k\cdot5=-5k.$$

• $k>0$: $\;D=-5k<0\;\Rightarrow\;$ эллиптический тип. Например, при $k=1$: $D=-5<0$.
• $k=0$: уравнение вырождается в $5u_{yy}=6u_x$; $a_{11}=0,\,a_{12}=0,\,a_{22}=5$, $\;D=0^2-0\cdot5=0\;\Rightarrow\;$ параболический тип.
• $k<0$: $\;D=-5k>0\;\Rightarrow\;$ гиперболический тип. Например, при $k=-1$: $D=5>0$.

Уравнение $5\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + k\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 8\dfrac{\partial u}{\partial x}$ зависит от двух переменных $x,y$. Правая часть $8u_x$ входит в $f$ и на тип не влияет. Коэффициенты при вторых производных:

$$a_{11}=5,\qquad a_{12}=0,\qquad a_{22}=k.$$

Дискриминант:

$$D=a_{12}^2-a_{11}a_{22}=0^2-5\cdot k=-5k.$$

• $k>0$: $\;D=-5k<0\;\Rightarrow\;$ эллиптический тип. Например, при $k=1$: $D=-5<0$.
• $k=0$: уравнение вырождается в $5u_{xx}=8u_x$; $a_{11}=5,\,a_{12}=0,\,a_{22}=0$, $\;D=0^2-5\cdot0=0\;\Rightarrow\;$ параболический тип.
• $k<0$: $\;D=-5k>0\;\Rightarrow\;$ гиперболический тип. Например, при $k=-1$: $D=5>0$.

Уравнение $k\dfrac{\partial u}{\partial t} = 2\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$ зависит от переменных $t,x,y$. Тип определяем по правилам для многомерных уравнений.

• $k>0$: делим на $k$: $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{2}{k}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)$. Присутствует $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ (нестационарный процесс), вторые производные есть по $x$ и $y$, но отсутствует по $t$ $\;\Rightarrow\;$ параболический тип (уравнение теплопроводности).
• $k=0$: левая часть обнуляется, уравнение становится $2\left(u_{xx}+u_{yy}\right)=0$, т.е. $u_{xx}+u_{yy}=0$ (уравнение Лапласа) — две переменные $x,y$. Коэффициенты $a_{11}=1,\,a_{12}=0,\,a_{22}=1$, $\;D=0^2-1\cdot1=-1<0\;\Rightarrow\;$ эллиптический тип. Вторые производные по обеим переменным присутствуют с одинаковыми знаками.
• $k<0$: $\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{2}{k}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)$ — по-прежнему есть $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ и отсутствует вторая производная по $t$ $\;\Rightarrow\;$ параболический тип.

Уравнение $\dfrac{\partial u}{\partial t} = 2k\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$ зависит от переменных $t,x,y$. Здесь коэффициент $k$ стоит при правой части, а производная $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ присутствует всегда.

• $k>0$: уравнение $\dfrac{\partial u}{\partial t}=2k\left(u_{xx}+u_{yy}\right)$ имеет $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ (нестационарный процесс), вторые производные есть по $x$ и $y$, отсутствует по $t$ $\;\Rightarrow\;$ параболический тип (уравнение теплопроводности).
• $k=0$: правая часть обнуляется, уравнение становится $\dfrac{\partial u}{\partial t}=0$ — вторых производных нет вообще, это вырожденное уравнение 1-го порядка, классификация по дискриминанту 2-го порядка к нему не применяется.
• $k<0$: уравнение $\dfrac{\partial u}{\partial t}=2k\left(u_{xx}+u_{yy}\right)$ по-прежнему содержит $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ и не содержит второй производной по $t$ $\;\Rightarrow\;$ параболический тип.

Уравнение $k\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 8\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$ зависит от трёх переменных $x,y,z$ и содержит только вторые производные. Тип определяем по правилам для многомерных уравнений: смотрим, по всем ли переменным есть вторые производные и совпадают ли знаки коэффициентов. Коэффициенты:

$$\sigma_x=k,\qquad \sigma_y=2,\qquad \sigma_z=8.$$

• $k>0$: вторые производные присутствуют по всем трём переменным $x,y,z$, и все коэффициенты положительны ($k>0,\,2>0,\,8>0$) — знаки одинаковые $\;\Rightarrow\;$ по правилу 1 уравнение эллиптического типа. Например, при $k=1$ — аналог уравнения Лапласа в 3D.
• $k=0$: уравнение вырождается в $2u_{yy}+8u_{zz}=0$ — отсутствует вторая производная по $x$ $\;\Rightarrow\;$ по правилу 2 уравнение параболического типа.
• $k<0$: коэффициенты $k<0,\,2>0,\,8>0$ — знаки разные (один отрицательный, два положительных) $\;\Rightarrow\;$ уравнение гиперболического типа. Например, при $k=-1$: $-u_{xx}+2u_{yy}+8u_{zz}=0$.

Уравнение $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2k\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 8\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$ зависит от трёх переменных $x,y,z$ и содержит только вторые производные. Коэффициенты:

$$\sigma_x=1,\qquad \sigma_y=-2k,\qquad \sigma_z=8.$$

• $k>0$: коэффициент при $u_{yy}$ равен $-2k<0$, а $\sigma_x=1>0$ и $\sigma_z=8>0$ — знаки разные $\;\Rightarrow\;$ уравнение гиперболического типа. Например, при $k=1$: $u_{xx}-2u_{yy}+8u_{zz}=0$.
• $k=0$: уравнение вырождается в $u_{xx}+8u_{zz}=0$ — отсутствует вторая производная по $y$ $\;\Rightarrow\;$ по правилу 2 уравнение параболического типа.
• $k<0$: коэффициент при $u_{yy}$ равен $-2k>0$, и $\sigma_x=1>0,\,\sigma_z=8>0$ — все три производные присутствуют, знаки одинаковые $\;\Rightarrow\;$ по правилу 1 уравнение эллиптического типа. Например, при $k=-1$: $u_{xx}+2u_{yy}+8u_{zz}=0$.

Уравнение $k\dfrac{\partial u}{\partial t} + 7\dfrac{\partial u}{\partial x} = 4\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + x$ зависит от переменных $t,x$. Члены $7u_x$ и $x$ входят в правую часть $f$ и на тип не влияют. Единственная вторая производная — $u_{xx}$ с коэффициентом $4$; вторая производная по $t$ отсутствует. В осях $(t,x)$: $a_{tt}=0,\,a_{tx}=0,\,a_{xx}=4$.

• $k>0$: присутствует $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ (нестационарный процесс), есть вторая производная $u_{xx}$, но отсутствует вторая производная по $t$. Дискриминант $D=a_{tx}^2-a_{tt}\,a_{xx}=0^2-0\cdot4=0\;\Rightarrow\;$ параболический тип (уравнение конвекции-диффузии).
• $k=0$: левая часть теряет $\dfrac{\partial u}{\partial t}$, уравнение становится $7u_x=4u_{xx}+x$, т.е. $4u''-7u'+x=0$ — обыкновенное дифференциальное уравнение по одной переменной $x$ (стационарная задача). Формально $D=0^2-0\cdot4=0$ (параболическое вырождение), но фактически это ОДУ.
• $k<0$: по-прежнему есть $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ и вторая производная $u_{xx}$, нет второй производной по $t$, $D=0\;\Rightarrow\;$ параболический тип.