Общая форма:
$$
a_{11} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + 2a_{12} \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + a_{22} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = f\!\left(x, y, u, u_{x}', u_{y}'\right)
$$
Дискриминант:
$$
D = a_{12}^{2} - a_{11} \cdot a_{22}
$$
- $D > 0$ — гиперболический тип
- $D = 0$ — параболический тип
- $D < 0$ — эллиптический тип
| Эллиптические уравнения | Параболические и гиперболические уравнения |
|---|
| Описывают стационарные процессы | Описывают нестационарные процессы |
| Нет $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ | Есть $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ |
| Нет изменения во времени | Есть изменения во времени |
Гиперболические уравнения
Используются для описания:
- Колебаний струн, мембран
- Электромагнитного поля и др.
Примеры определения типа уравнения
Пример 1. Уравнение теплопроводности (параболическое):
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = a_{11} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + f(x, t)
$$
$$
a_{11} = 1, \quad a_{12} = 0, \quad a_{22} = 0
$$
$$
D = a_{12}^{2} - a_{11} \cdot a_{22} = 0 - 1 \cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{параболическое}
$$
Пример 2. Уравнение Лапласа (эллиптическое):
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0
$$
$$
a_{11} = 1, \quad a_{12} = 0, \quad a_{22} = 1
$$
$$
D = 0^{2} - 1 \cdot 1 = -1 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{эллиптическое}
$$
Пример 3. Уравнение Пуассона (эллиптическое):
$$
\lambda \left( \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}} \right) = q(x, y)
$$
$$
a_{11} = \lambda, \quad a_{12} = 0, \quad a_{22} = \lambda
$$
$$
D = 0^{2} - \lambda \cdot \lambda = -\lambda^{2} < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{эллиптическое}
$$
Пример 4. Уравнение конвекции-диффузии в цилиндрических координатах (эллиптическое):
$$
v \frac{\partial C}{\partial x} = D_{L} \frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} + D_{R} \frac{\partial^{2} C}{\partial R^{2}} + \frac{D_{R}}{R} \frac{\partial C}{\partial R} - kC
$$
$$
a_{11} = D_{L}, \quad a_{12} = 0, \quad a_{22} = D_{R}
$$
$$
D = a_{12}^{2} - a_{11} \cdot a_{22} = -D_{L} \cdot D_{R} < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{эллиптическое}
$$
Уравнение, записанное в конспекте без разбора (для самостоятельного определения типа):
$$
a \frac{\partial u}{\partial x} = b \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
$$
Безразмерный анализ (обезразмеривание)
Исходные уравнения:
$$
\frac{\partial C}{\partial t} + v \frac{\partial C}{\partial x} = -kC \tag{1}
$$
$$
\frac{\partial C}{\partial t} + v \frac{\partial C}{\partial x} = -kC^{2} \tag{2}
$$
Безразмерные переменные:
$$
C' = \frac{C}{C_{0}}, \quad t' = \frac{t}{t_{0}}, \quad x' = \frac{x}{x_{0}}, \quad k' = \frac{k}{k_{0}}, \quad v' = \frac{v}{v_{0}} \tag{3}
$$
Подстановка $(3)$ в $(1)$:
$$
\frac{C_{0}}{t_{0}} \frac{\partial C'}{\partial t'} + v' v_{0} \frac{C_{0}}{x_{0}} \frac{\partial C'}{\partial x'} = -k' k_{0} C' C_{0}
$$
Делим на $\dfrac{C_{0}}{t_{0}}$:
$$
\frac{\partial C'}{\partial t'} + v' \frac{v_{0} t_{0}}{x_{0}} \frac{\partial C'}{\partial x'} = -k' C' \cdot k_{0} t_{0}
$$
Выбор масштабов:
$$
\frac{v_{0} t_{0}}{x_{0}} = 1 \quad \Rightarrow \quad v_{0} = \frac{x_{0}}{t_{0}}
$$
$$
k_{0} t_{0} = 1 \quad \Rightarrow \quad k_{0} = \frac{1}{t_{0}}
$$
Граничные условия
Рассмотрим уравнение конвекции-диффузии:
$$
\frac{\partial C}{\partial t} + v \frac{\partial C}{\partial x} = D \frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}}, \quad x \in [a,\, b]
$$
Начальное условие:
$$
C(0, x) = C^{0}(x), \quad \text{например: } C(0, x) = x
$$
1) Граничное условие I рода (Дирихле):
$$
C(t,\, a) = \varphi_{1}(t), \quad \text{например: } C(t,\, a) = t^{2}
$$
$$
C(t,\, b) = \varphi_{2}(t), \quad \text{например: } C(t,\, b) = t
$$
2) Граничное условие II рода (Неймана):
$$
\frac{\partial C}{\partial x}(t,\, a) = \varphi_{1}(t), \quad \text{например: } \frac{\partial C}{\partial x}(t,\, a) = t^{2}
$$
$$
\frac{\partial C}{\partial x}(t,\, b) = \varphi_{2}(t)
$$
3) Граничное условие III рода (Робена):
$$
\frac{\partial C}{\partial x}(t,\, a) = \beta \left[ C(t,\, a) - C_{1} \right]
$$
$$
\frac{\partial C}{\partial x}(t,\, b) = \beta \left[ C(t,\, b) - C_{2} \right]
$$
Уравнения в частных производных 1-го порядка
$$
\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} = f(t, x, u), \quad u = u(t, x), \quad v > 0
$$
Начальное условие:
$$
u(0,\, x) = u^{0}(x)
$$
Граничное условие I рода:
$$
u(t,\, a) = \varphi_{1}(t) \quad \text{при } v > 0
$$
$$
u(t,\, b) = \varphi_{2}(t) \quad \text{при } v < 0
$$
Примечания к расшифровке конспекта. 1. В рукописи граничные условия III рода записаны через $\frac{\partial C}{\partial t}$ — это описка, по смыслу производная по координате $\frac{\partial C}{\partial x}$ (как и в ГУ II рода); здесь приведена исправленная запись. 2. На титульном листе рукописи типы при $D = 0$ и $D < 0$ переставлены местами; на стр. 1 рукописи и здесь — стандартная классификация.