Постановка задачи
Обезразмерим уравнение диффузии:
$$
\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} - kC \tag{1}
$$
где:
- $C$ — концентрация
- $t$ — время
- $D$ — коэффициент диффузии
- $x$ — пространственная координата
- $k$ — константа скорости реакции
Общий алгоритм обезразмеривания
Шаг 1. Введём характерные параметры процесса
$$
C_{0},\ t_{0},\ x_{0},\ D_{0},\ k_{0} = \mathrm{const}
$$
Шаг 2. Введём безразмерные переменные
$$
C' = \frac{C}{C_{0}}, \quad t' = \frac{t}{t_{0}}, \quad x' = \frac{x}{x_{0}}, \quad D' = \frac{D}{D_{0}}, \quad k' = \frac{k}{k_{0}}
$$
Отсюда:
$$
C = C' C_{0}, \quad t = t' t_{0}, \quad x = x' x_{0}, \quad D = D' D_{0}, \quad k = k' k_{0}
$$
Шаг 3. Подставим в уравнение (1)
$$
\frac{\partial (C' C_{0})}{\partial (t' t_{0})} = D' D_{0} \frac{\partial^{2}(C' C_{0})}{\partial (x' x_{0})^{2}} - k' k_{0} C' C_{0}
$$
$$
\frac{C_{0}}{t_{0}} \frac{\partial C'}{\partial t'} = \frac{D' D_{0} C_{0}}{x_{0}^{2}} \frac{\partial^{2} C'}{\partial x'^{2}} - k' k_{0} C' C_{0} \tag{2}
$$
Шаг 4. Делим уравнение (2) на $\dfrac{C_{0}}{t_{0}}$
$$
\frac{\partial C'}{\partial t'} = \left[\frac{D_{0} t_{0}}{x_{0}^{2}}\right] D' \frac{\partial^{2} C'}{\partial x'^{2}} - k' C' \left[k_{0} t_{0}\right] \tag{3}
$$
Шаг 5. Находим неизвестные характерные параметры
Приравниваем безразмерные комплексы к единице:
$$
\left[\frac{D_{0} t_{0}}{x_{0}^{2}}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad D_{0} = \frac{x_{0}^{2}}{t_{0}} \left[\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}}\right]
$$
$$
\left[k_{0} t_{0}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad k_{0} = \frac{1}{t_{0}} \left[\frac{1}{\text{с}}\right]
$$
Шаг 6. Итоговое безразмерное уравнение
$$
\frac{\partial C'}{\partial t'} = D' \frac{\partial^{2} C'}{\partial x'^{2}} - k' C' \tag{4}
$$
Примеры обезразмеривания
Пример 1. Уравнение диффузии без реакции
$$
\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}}
$$
Известны: $C_{0},\ t_{0},\ x_{0}$. Неизвестно: $D_{0}$.
Шаг 1. Безразмерные переменные: $C' = \dfrac{C}{C_{0}},\ t' = \dfrac{t}{t_{0}},\ x' = \dfrac{x}{x_{0}},\ D' = \dfrac{D}{D_{0}}$.
Шаг 2. Подстановка и деление на $\dfrac{C_{0}}{t_{0}}$:
$$
\frac{\partial C'}{\partial t'} = \left[\frac{D_{0} t_{0}}{x_{0}^{2}}\right] D' \frac{\partial^{2} C'}{\partial x'^{2}}
$$
Шаг 3. Находим $D_{0}$:
$$
\left[\frac{D_{0} t_{0}}{x_{0}^{2}}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad D_{0} = \frac{x_{0}^{2}}{t_{0}} \left[\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}}\right]
$$
Пример 2. Уравнение диффузии с реакцией второго порядка
$$
\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} - k C^{2}
$$
Известны: $C_{0},\ t_{0},\ x_{0}$. Неизвестны: $D_{0},\ k_{0}$.
Шаг 1. Подстановка и деление на $\dfrac{C_{0}}{t_{0}}$:
$$
\frac{\partial C'}{\partial t'} = \left[\frac{D_{0} t_{0}}{x_{0}^{2}}\right] D' \frac{\partial^{2} C'}{\partial x'^{2}} - k' C'^{2} \left[k_{0} t_{0} C_{0}\right]
$$
Шаг 2. Находим $D_{0}$ и $k_{0}$:
$$
\left[\frac{D_{0} t_{0}}{x_{0}^{2}}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad D_{0} = \frac{x_{0}^{2}}{t_{0}} \left[\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}}\right]
$$
$$
\left[k_{0} t_{0} C_{0}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad k_{0} = \frac{1}{t_{0} C_{0}} \left[\frac{\text{м}^{3}}{\text{моль} \cdot \text{с}}\right]
$$
Пример 3. Уравнение реактора идеального смешения
$$
\frac{dC}{dt} = \frac{1}{\tau}(C_{0}^{\mathrm{in}} - C) - kC
$$
Известны: $C_{0},\ t_{0}$. Неизвестны: $\tau_{0},\ k_{0}$.
Шаг 1. Безразмерные переменные:
$$
C = C' C_{0}, \quad t = t' t_{0}, \quad \tau = \tau' \tau_{0}, \quad k = k' k_{0}, \quad C_{0}^{\mathrm{in}} = C_{0}^{\mathrm{in}\prime} C_{0}
$$
Шаг 2. Подстановка и деление на $\dfrac{C_{0}}{t_{0}}$:
$$
\frac{dC'}{dt'} = \left[\frac{t_{0}}{\tau_{0}}\right] \frac{1}{\tau'} \left(C_{0}^{\mathrm{in}\prime} - C'\right) - k' C' \left[k_{0} t_{0}\right]
$$
Шаг 3. Находим $\tau_{0}$ и $k_{0}$:
$$
\left[\frac{t_{0}}{\tau_{0}}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad \tau_{0} = t_{0}\ [\text{с}]
$$
$$
\left[k_{0} t_{0}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad k_{0} = \frac{1}{t_{0}}\ \left[\frac{1}{\text{с}}\right]
$$
Пример 4. Уравнение реактора идеального вытеснения
$$
v \frac{dC}{dx} = -kC
$$
Известны: $C_{0},\ x_{0}$. Неизвестны: $v_{0},\ k_{0}$.
Замечание. При обезразмеривании этого уравнения переменная времени отсутствует. Чтобы безразмерные комплексы имели физический смысл, вводим $t_{0}$ и умножаем уравнение на $t_{0}$.
Шаг 1. Подстановка и умножение на $t_{0}$:
$$
\left[\frac{v_{0} t_{0}}{x_{0}}\right] v' \frac{dC'}{dx'} = -k' C' \left[k_{0} t_{0}\right]
$$
Шаг 2. Находим $v_{0}$ и $k_{0}$:
$$
\left[\frac{v_{0} t_{0}}{x_{0}}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad v_{0} = \frac{x_{0}}{t_{0}} \left[\frac{\text{м}}{\text{с}}\right]
$$
$$
\left[k_{0} t_{0}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad k_{0} = \frac{1}{t_{0}} \left[\frac{1}{\text{с}}\right]
$$
Пример 5. Система уравнений кристаллизации
$$
\begin{cases}
\dfrac{dC}{dt} = -\displaystyle\int_{0}^{\infty} \rho_{2}^{0}\, f\, \eta\, dr \\[10pt]
\dfrac{\partial f}{\partial t} + \eta \dfrac{\partial f}{\partial r} = 0
\end{cases}
$$
где $f = f(t, r)$ — функция распределения кристаллов по размерам, $\eta = \dfrac{dr}{dt}$ — скорость роста кристалла, $r$ — размер кристалла, $\rho_{2}^{0}$ — плотность кристалла.
Известны: $C_{0},\ t_{0},\ \rho_{2}^{0}$. Неизвестны: $f_{0},\ \eta_{0},\ r_{0}$.
Шаг 1. Безразмерные переменные:
$$
C = C' C_{0}, \quad t = t' t_{0}, \quad f = f' f_{0}, \quad \eta = \eta' \eta_{0}, \quad r = r' r_{0}, \quad \rho_{2}^{0} = \rho_{2}^{0\prime} \rho_{2}^{0}
$$
Шаг 2. Подстановка и деление первого уравнения на $\dfrac{C_{0}}{t_{0}}$, второго на $\dfrac{f_{0}}{t_{0}}$:
$$
\frac{dC'}{dt'} = -\left[f_{0}\, \eta_{0}\, r_{0}\, t_{0}\right] \int_{0}^{\infty} \rho_{2}^{0\prime}\, f'\, \eta'\, dr' \tag{3}
$$
$$
\frac{\partial f'}{\partial t'} + \left[\frac{\eta_{0} t_{0}}{r_{0}}\right] \eta' \frac{\partial f'}{\partial r'} = 0 \tag{4}
$$
Шаг 3. Находим $f_{0},\ \eta_{0},\ r_{0}$ из двух комплексов при трёх неизвестных — одна степень свободы, выбираем $r_{0}$ произвольно:
$$
\left[f_{0}\, \eta_{0}\, r_{0}\, t_{0}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad f_{0} = \frac{1}{\eta_{0}\, r_{0}\, t_{0}}
$$
$$
\left[\frac{\eta_{0} t_{0}}{r_{0}}\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad \eta_{0} = \frac{r_{0}}{t_{0}}, \quad f_{0} = \frac{1}{r_{0}^{2}}
$$
Определение типа уравнения
Общая форма уравнения 2-го порядка:
$$
a_{11} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + 2a_{12} \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + a_{22} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = f\!\left(x, y, u, u'_{x}, u'_{y}\right)
$$
$$
D = a_{12}^{2} - a_{11} \cdot a_{22}
$$
- $D > 0$ — гиперболический тип
- $D = 0$ — параболический тип
- $D < 0$ — эллиптический тип
Пример 1.
$$
2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + 3 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{\partial u}{\partial x} + 7\frac{\partial u}{\partial y}
$$
$$
a_{11} = 2, \quad a_{12} = 0, \quad a_{22} = 3
$$
$$
D = 0^{2} - 2 \cdot 3 = -6 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{эллиптический тип}
$$
Пример 2.
$$
5 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - 6 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 10 \frac{\partial u}{\partial y}
$$
$$
a_{11} = 5, \quad a_{12} = 0, \quad a_{22} = -6
$$
$$
D = 0^{2} - 5 \cdot (-6) = 30 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{гиперболический тип}
$$
Пример 3.
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = 8 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{\partial u}{\partial x}
$$
$$
a_{11} = 8, \quad a_{12} = 0, \quad a_{22} = 0
$$
$$
D = 0^{2} - 8 \cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{параболический тип}
$$
Пример 4.
$$
10 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + 20 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + 15 \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0, \quad u = u(x, y, z)
$$
Уравнение содержит три пространственные переменные, все старшие производные присутствуют и коэффициенты при них одного знака $\Rightarrow$ эллиптический тип.
Пример 5. Уравнение изменения концентрации в трубчатом реакторе
$$
\frac{\partial C}{\partial t} + v \frac{\partial C}{\partial x} = D_{L} \frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} - kC
$$
$$
a_{11} = D_{L}, \quad a_{12} = 0, \quad a_{22} = 0
$$
$$
D = 0^{2} - D_{L} \cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{параболический тип}
$$
Для данного уравнения задаются:
- Начальное условие: $C(0, x) = C^{0}(x)$
- Граничные условия I рода: $C(t, x{=}0) = \varphi_{1}(t),\quad C(t, x{=}L) = \varphi_{2}(t)$
Пример из статьи. Уравнение движения тела в атмосфере
$$
m \frac{d^{2}h}{dt^{2}} = -mg + g W \rho_{0} e^{-bh} - \frac{c \rho_{0} S}{2} e^{-bh} \left(\frac{dh}{dt}\right)^{2}, \quad h(0) = 0,\quad h'(0) = 0
$$
где $h$ — высота, $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $W$ — объём тела, $\rho_{0}$ — плотность воздуха у поверхности, $b$ — барометрический коэффициент, $S$ — площадь поперечного сечения, $c$ — коэффициент лобового сопротивления.
Шаг 1. Характерные параметры: $h_{0},\ t_{0}$.
Шаг 2. Безразмерные переменные:
$$
y' = \frac{h}{h_{0}}, \quad \tau' = \frac{t}{t_{0}} \quad \Rightarrow \quad h = y' h_{0}, \quad t = \tau' t_{0}
$$
Шаг 3. Подстановка и деление на $mg$:
$$
\frac{h_{0}}{t_{0}^{2} g} \frac{d^{2} y'}{d\tau'^{2}} = -1 + \frac{W \rho_{0}}{m} e^{-b h_{0} y'} \left[1 - \frac{c S}{2 W} \cdot \frac{h_{0}^{2}}{t_{0}^{2} g} \left(\frac{d y'}{d\tau'}\right)^{2}\right]
$$
Шаг 4. Приравниваем комплексы к единице или присваиваем критерии подобия:
$$
b h_{0} = 1 \quad \Rightarrow \quad h_{0} = \frac{1}{b}
$$
$$
\frac{c S}{2 W g} \cdot \frac{h_{0}^{2}}{t_{0}^{2}} = 1 \quad \Rightarrow \quad t_{0} = \frac{1}{b}\sqrt{\frac{cS}{2Wg}}
$$
Шаг 5. Оставшиеся комплексы — критерии подобия:
$$
\Pi_{1} = \frac{h_{0}}{t_{0}^{2} g} = \frac{1}{\left[1\right]}, \quad \beta = \frac{W \rho_{0}}{m}
$$
Итоговое безразмерное уравнение:
$$
\Pi_{1} \frac{d^{2} y'}{d\tau'^{2}} = -1 + \beta\, e^{-y'} \left[1 - \Pi_{1} \left(\frac{dy'}{d\tau'}\right)^{2}\right]
$$