С0. Типы уравнений, граничные условия, обезразмеривание
С1. Обезразмеривание уравнений, типы уравнений
С2. Аппроксимация, граничные условия, явная схема
С3. Устойчивость явной и неявной схем
С4. Алгоритм решения явной и неявной схем
С5. Алгоритм решения схемы Кранка-Николсона
С6. УрЧП 1-го порядка: устойчивость и алгоритм решения
С7. Параболические уравнения с конвективным членом
С8. Двумерные уравнения: явная схема и метод расщепления
С9. Двумерные уравнения: переменные направления, предиктор-корректор
Пример 1. Явная разностная схема
Постановка задачи
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = 2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + e^t + e^x
$$
Начальное условие:
$$
u(t=0,\, x) = e^x
$$
Граничные условия:
$$
\begin{cases}
u(t,\, x=0) = e^t + 1 \\[4pt]
\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=1) = e^t + 2{,}7
\end{cases}
$$
Явная разностная схема
$$
\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t}
= 2\,\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2}
+ e^{n\Delta t} + e^{(j-1)h}
$$
Начальное условие на сетке:
$$
u_j^0 = e^{(j-1)h}
$$
Левое граничное условие (ЛГУ):
$$
u_1^{n+1} = e^{(n+1)\Delta t} + 1
$$
Правое граничное условие (ПГУ) — аппроксимация производной:
$$
\frac{u_N^{n+1} - u_{N-1}^{n+1}}{h} = e^{(n+1)\Delta t} + 2{,}7
\quad\Longrightarrow\quad
u_N^{n+1} = u_{N-1}^{n+1} + h\!\left(e^{(n+1)\Delta t} + 2{,}7\right)
$$
Рекуррентное соотношение (явная схема)
$$
\boxed{
u_j^{n+1} = u_j^n
+ \frac{2\,\Delta t}{h^2}\!\left(u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n\right)
+ \left(e^{n\Delta t} + e^{(j-1)h}\right)\Delta t
}
$$
Блок-схема алгоритма (явная схема)
┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│ Задание начальных условий: │
│ u_j^0 = e^{(j-1)h}, цикл j = 1, j ≤ Nx, j++ │
└──────────────────┬──────────────────────────────────────┘
↓
┌─────────┐
│ n = 0 │
└────┬────┘
↓
╔═══════╧═══════╗
║ n < N_t ? ║◄──────────────────────────┐
╚══════╤════════╝ │
да ↓ ╚══ нет → (Конец) │
↓ │
┌─────────────────────────────────────────────────────┐│
│ Цикл j = 2, j ≤ Nx−1, j++ ││
│ u_j^{n+1} = u_j^n + (2Δt/h²)·Λ_xx^n ││
│ + (e^{nΔt} + e^{(j-1)h})·Δt ││
└──────────────────┬──────────────────────────────────┘│
↓ │
┌──────────────────────────────────────┐ │
│ Расчёт левой точки из ЛГУ: │ │
│ u_1^{n+1} = e^{(n+1)Δt} + 1 │ │
└──────────────────┬───────────────────┘ │
↓ │
┌──────────────────────────────────────────────────────┐│
│ Расчёт правой точки из ПГУ: ││
│ u_{Nx}^{n+1} = u_{Nx−1}^{n+1} + h·(e^{(n+1)Δt}+2,7)││
└──────────────────┬───────────────────────────────────┘│
↓ │
┌─────────┐ │
│ n++ │───────────────────────────────┘
└─────────┘
Пример 2. Явная схема — другая задача
Постановка задачи
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = 7\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 3u + x + t,
\qquad u(t=0,\, x) = x
$$
Граничные условия:
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=0) = 1 \\[6pt]
u(t,\, x=1) = t + 1
\end{cases}
$$
Явная разностная схема
$$
\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t}
= 7\,\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2}
- 3u_j^n + (j-1)h + n\Delta t
$$
Начальное условие:
$$
u_j^0 = (j-1)h
$$
ЛГУ — производная первого порядка:
$$
\frac{u_2^{n+1} - u_1^{n+1}}{h} = 1
\quad\Longrightarrow\quad
u_1^{n+1} = u_2^{n+1} - h
$$
ПГУ — условие первого рода:
$$
u_N^{n+1} = (n+1)\Delta t + 1
$$
Рекуррентное соотношение
$$
u_j^{n+1} = u_j^n
+ \frac{7\,\Delta t}{h^2}\,\Lambda_{xx}^n
- \left(3u_j^n + (j-1)h + n\Delta t\right)\Delta t
$$
Пример 3. Неявная схема. Метод прогонки
Постановка задачи
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = 10^{-2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2u + t^2 + x^2
$$
Начальное условие:
$$
u(t=0,\, x) = x^2
$$
Граничные условия (условия Неймана):
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=0) = 0 \\[6pt]
\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=1) = 2
\end{cases}
$$
1. Неявная разностная схема
$$
\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t}
= 10^{-2}\,\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2}
- 2u_j^{n+1}
+ (n\Delta t)^2 + \bigl[(j-1)h\bigr]^2
$$
2. Приведение к виду для прогонки
$$
\underbrace{-\frac{10^{-2}\Delta t}{h^2}}_{a_j} u_{j+1}^{n+1}
+\underbrace{\left(1 + \frac{2\cdot 10^{-2}\Delta t}{h^2} + 2\Delta t\right)}_{b_j} u_j^{n+1}
-\underbrace{\frac{10^{-2}\Delta t}{h^2}}_{c_j} u_{j-1}^{n+1}
= \underbrace{u_j^n + \left[(n\Delta t)^2 + (j-1)^2 h^2\right]\Delta t}_{\zeta_j^n}
$$
3. Прогоночные коэффициенты (общая формула)
Из рекуррентного прогоночного соотношения $u_{j-1}^{n+1} = \alpha_{j-1}\,u_j^{n+1} + \beta_{j-1}$ подстановкой получаем:
$$
\alpha_j = -\frac{a_j}{b_j + c_j\,\alpha_{j-1}},
\qquad
\beta_j = \frac{\zeta_j^n - c_j\,\beta_{j-1}}{b_j + c_j\,\alpha_{j-1}}
$$
Рекуррентное прогоночное соотношение:
$$
u_j^{n+1} = \alpha_j\,u_{j+1}^{n+1} + \beta_j
$$
4. Начальные прогоночные коэффициенты $\alpha_1,\, \beta_1$ (из ЛГУ)
$$
\frac{u_2^{n+1} - u_1^{n+1}}{h} = 0
\;\Longrightarrow\;
u_1^{n+1} = u_2^{n+1}
$$
Сравниваем с $u_1^{n+1} = \alpha_1\,u_2^{n+1} + \beta_1$:
$$
\boxed{\alpha_1 = 1, \quad \beta_1 = 0}
$$
5. Нахождение $u_{N_x}^{n+1}$ из ПГУ
$$
\frac{u_N^{n+1} - u_{N-1}^{n+1}}{h} = 2 \;\Big/\cdot h
$$
Подставляем $u_{N-1}^{n+1} = \alpha_{N-1}\,u_N^{n+1} + \beta_{N-1}$:
$$
u_N^{n+1} - \alpha_{N-1}\,u_N^{n+1} - \beta_{N-1} = 2h
$$
$$
\boxed{
u_{N_x}^{n+1} = \frac{2h + \beta_{N_x - 1}}{1 - \alpha_{N_x - 1}}
}
$$
6. Условие устойчивости метода прогонки
$$
|a_j| + |c_j| \leq |b_j|
$$
Для данной задачи:
$$
\left|\frac{10^{-2}\Delta t}{h^2}\right|
+ \left|\frac{10^{-2}\Delta t}{h^2}\right|
\leq \left|1 + 2\Delta t + \frac{2\cdot 10^{-2}\Delta t}{h^2}\right|
\quad\text{— выполняется}
$$
Блок-схема алгоритма прогонки
┌──────────────────────────────────────────────────────────┐
│ Задание начальных условий: │
│ u_j^0 = [(j-1)h]^2, цикл j = 1, j ≤ Nx, j++ │
└───────────────────┬──────────────────────────────────────┘
↓
┌──────────┐
│ n = 0 │
└────┬─────┘
↓
╔════════╧════════╗
║ n < N_t ? ║◄──────────────────────────────┐
╚═══════╤═════════╝ │
да ↓ ╚═══ нет → (Конец) │
↓ │
┌──────────────────────────────────────────────────────────┐ │
│ Определяем α₁, β₁ из ЛГУ: │ │
│ u₁^{n+1} = u₂^{n+1} ⟹ α₁ = 1, β₁ = 0 │ │
└───────────────────┬──────────────────────────────────────┘ │
↓ │
┌──────────────────────────────────────────────────────────┐ │
│ Прямой ход: цикл j = 2, j ≤ Nx−1, j++ (слева направо) │ │
│ Расчёт: a_j, b_j, c_j, ζ_j^n │ │
│ α_j = −a_j / (b_j + c_j·α_{j-1}) │ │
│ β_j = (ζ_j^n − c_j·β_{j-1}) / (b_j + c_j·α_{j-1}) │ │
└───────────────────┬──────────────────────────────────────┘ │
↓ │
┌──────────────────────────────────────────────────────────┐ │
│ Расчёт правой точки из ПГУ: │ │
│ u_{Nx}^{n+1} = (2h + β_{Nx-1}) / (1 − α_{Nx-1}) │ │
└───────────────────┬──────────────────────────────────────┘ │
↓ │
┌──────────────────────────────────────────────────────────┐ │
│ Обратный ход: j = Nx−1, j ≥ 1, j−− (справа налево) │ │
│ u_j^{n+1} = α_j · u_{j+1}^{n+1} + β_j │ │
└───────────────────┬──────────────────────────────────────┘ │
↓ │
┌──────────┐ │
│ n++ │────────────────────────────────────┘
└──────────┘
Домашнее задание (Д/З)
Уравнение:
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = 3\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + t\cdot x
$$
Начальное условие:
$$
u(t=0,\, x) = 0
$$
Граничные условия:
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=0) = t \\[6pt]
\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,\, x=1) = 2t
\end{cases}
$$
Задания:
- Записать явную разностную схему
- Составить блок-схему алгоритма (явная схема)
- Записать неявную разностную схему
- Составить блок-схему алгоритма прогонки
- Проверить неявную схему на устойчивость
Блок-схемы алгоритмов
Кликните по схеме, чтобы открыть в полном размере. Все схемы курса собраны на странице «Блок-схемы».
