Семинар 7
Пример 1
$$\frac{\partial U}{\partial t} + 2\,\frac{\partial U}{\partial x} = 10\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + t \cdot x$$
$$U(t=0,\, x) = 0, \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x}(t,\, x=0) = t \\[6pt] U(t,\, x=1) = 2t \end{cases}$$
Задание:
- Записать явную схему, выбрав подходящую конечную разность.
- Вывести рекуррентные формулы.
- Записать блок-схему.
1. Явная схема
$$\frac{U_j^{n+1} - U_j^n}{\Delta t} + 2\,\frac{U_j^n - U_{j-1}^n}{h} = 10\,\frac{U_{j+1}^n - 2U_j^n + U_{j-1}^n}{h^2} + n\Delta t \cdot (j-1)h$$
2. Рекуррентная формула
$$U_j^{n+1} = U_j^n - 2\Delta t\,\lambda_x\,U_j^n + 10\Delta t\,\lambda_{xx}\,U_j^n + n\Delta t^2(j-1)h$$
АГУ:
$$\frac{U_2^{n+1} - U_1^{n+1}}{h} = (n+1)\Delta t \quad \Rightarrow \quad U_1^{n+1} = U_2^{n+1} + (n+1)\Delta t \cdot h$$
ПГУ:
$$U_{Nx}^{n+1} = 2(n+1)\Delta t$$
Пример 2
$$\frac{\partial U}{\partial t} - 5\,\frac{\partial U}{\partial x} = 7\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + t^2 + t \cdot x$$
$$U(t=0,\, x) = 0, \qquad \begin{cases} U(t,\, x=0) = t^2 \\[6pt] \dfrac{\partial U}{\partial x}(t,\, x=1) = t \end{cases}$$
Задание:
- Записать неявную схему, выбрав конечную разность.
- Привести к виду, удобному к прогонке.
- Найти $\lambda_1$, $\beta_1$ из АГУ.
- Найти $U_{Nx}$ из ПГУ.
- Записать блок-схему.
1. Неявная схема
$$\frac{U_j^{n+1} - U_j^n}{\Delta t} - 5\,\frac{U_{j+1}^{n+1} - U_j^{n+1}}{h} = 7\,\frac{U_{j+1}^{n+1} - 2U_j^{n+1} + U_{j-1}^{n+1}}{h^2} + (n\Delta t)^2 + n\Delta t(j-1)h$$
2. Трёхдиагональная система (прогонка)
$$U_{j-1}^{n+1}\!\left[-\!\left(\frac{5\Delta t}{h} + \frac{7\Delta t}{h^2}\right)\right]^{a_j} + U_j^{n+1}\!\left[1 + \frac{5\Delta t}{h} + \frac{14\Delta t}{h^2}\right]^{b_j} + U_{j+1}^{n+1}\!\left[-\frac{7\Delta t}{h^2}\right]^{c_j} = U_j^n + \Delta t\!\left[(n\Delta t)^2 + n\Delta t(j-1)h\right]$$
$$\checkmark \quad |a_j| + |c_j| \leq |b_j|$$
3. АГУ: $\lambda_1$, $\beta_1$
$$U_1^{n+1} = \bigl((n+1)\Delta t\bigr)^2 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = 0, \quad \beta_1 = \bigl((n+1)\Delta t\bigr)^2$$
4. ПГУ: $U_{Nx}$
Подставляя $U_{Nx-1}^{n+1} = \alpha_{Nx-1}\,U_{Nx}^{n+1} + \beta_{Nx-1}$ в дискретизованное граничное условие:
$$\frac{U_{Nx}^{n+1} - \alpha_{Nx-1}\,U_{Nx}^{n+1} - \beta_{Nx-1}}{h} = (n+1)\Delta t$$
$$U_{Nx}^{n+1}\bigl[1 - \alpha_{Nx-1}\bigr] = \beta_{Nx-1} + (n+1)\Delta t \cdot h$$
$$U_{Nx}^{n+1} = \frac{\beta_{Nx-1} + (n+1)\Delta t \cdot h}{1 - \alpha_{Nx-1}}$$
Пример 3
$$\frac{\partial U}{\partial t} - 8\,\frac{\partial U}{\partial x} = 6\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + x\sqrt{t}$$
$$U(t=0,\, x) = 0, \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x}(t,\, x=0) = 0 \\[6pt] U(t,\, x=1) = \sqrt{t} \end{cases}$$
Задание: записать устойчивую схему Кранко–Никольсона; п. 2)–5) из примера 2.
1. Схема Кранко–Никольсона
$$\frac{U_j^{n+1} - U_j^n}{\Delta t} - 4\,\frac{U_{j+1}^{n+1} - U_j^{n+1}}{h} - 4\,\frac{U_{j+1}^n - U_j^n}{h} = 3\,\frac{U_{j+1}^{n+1} - 2U_j^{n+1} + U_{j-1}^{n+1}}{h^2} + 3\,\frac{U_{j+1}^n - 2U_j^n + U_{j-1}^n}{h^2} + (j-1)h\cdot(n\Delta t)^{1/2}$$
2. Трёхдиагональная система (прогонка)
$$U_{j+1}^{n+1}\!\left[-\!\left(\frac{4\Delta t}{h} + \frac{3\Delta t}{h^2}\right)\right]^{a_j} + U_j^{n+1}\!\left[1 + \frac{4\Delta t}{h} + \frac{6\Delta t}{h^2}\right]^{b_j} + U_{j-1}^{n+1}\!\left[-\frac{3\Delta t}{h^2}\right]^{c_j}$$
$$= U_j^n + 3\Delta t\,\lambda_{xx}\,U_j^n + 4\,\lambda_x\,U_j^n\cdot\Delta t + \left[(j-1)h\cdot(n\Delta t)^{1/2}\right]\Delta t$$
$$\checkmark \quad |a_j| + |c_j| \leq |b_j|$$
3. АГУ: $\lambda_1$, $\beta_1$
$$\frac{U_2^{n+1} - U_1^{n+1}}{h} = 0 \quad \Rightarrow \quad U_1^{n+1} = U_2^{n+1} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = 1, \quad \beta_1 = 0$$
4. ПГУ: $U_{Nx}$
$$U_{Nx}^{n+1} = \bigl((n+1)\Delta t\bigr)^{1/2}$$
Д/З
Пример 1
$$\frac{\partial U}{\partial t} - 9\,\frac{\partial U}{\partial x} = 9\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + U \cdot e^t$$
$$U(t=0,\, x) = \sqrt{x}, \qquad \begin{cases} U(t,\, x=0) = t^{1/3} \\[6pt] U(t,\, x=1) = t^{1/3} + 1 \end{cases}$$
Задание:
- Записать устойчивую явную схему.
- Вывести рекуррентные формулы, Г.У. и Н.У.
- Записать блок-схему.
Пример 2
$$\frac{\partial U}{\partial t} + 12\,\frac{\partial U}{\partial x} = 0{,}1\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \sqrt{t} + U$$
$$U(t=0,\, x) = 0, \quad U(t,\, x=0) = \sqrt{t}, \quad \frac{\partial U}{\partial x}(t,\, x=1) = 1$$
Задание:
- Записать устойчивую неявную схему.
2)–5) из примера 2 на семинаре.
Пример 3
$$\frac{\partial U}{\partial t} - 0{,}2\,\frac{\partial U}{\partial x} = 0{,}4\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + U \cdot t$$
$$U(t=0,\, x) = 2{,}7 + e^x, \qquad \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x}(t,\, x=0) = 1 \\[6pt] \dfrac{\partial U}{\partial x}(t,\, x=1) = 2{,}7 + e^t \end{cases}$$
Задание: п. 1)–5) из примера 3 на семинаре. (Схема К.-Н.)
Постскриптум.
Нотация вида «$, tX$» в правых частях уравнений интерпретирована как «$+\, t \cdot x$» — это подтверждается дискретным слагаемым $n\Delta t\cdot(j{-}1)h$ в схемах. Аналогично «$e^2$» в примере 2 прочитано как $t^2$ (характерное написание $t$ в рукописи). Коэффициент при $\partial^2 U/\partial x^2$ в Д/З примере 3 прочитан как $0{,}4$; значение $9{,}4$ не исключено при ином прочтении. Страница 2 рукописи (блок-схема к примеру 1) в PDF отсутствует.