Конечные разности
Три основных способа аппроксимировать производную $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ в узле $j$:
$$
\lambda_{x}^{-} u = \frac{u_{j} - u_{j-1}}{h} \quad \text{— левая (назад)}
$$
$$
\lambda_{x}^{+} u = \frac{u_{j+1} - u_{j}}{h} \quad \text{— правая (вперёд)}
$$
$$
\lambda_{x}^{0} u = \frac{u_{j+1} - u_{j-1}}{2h} \quad \text{— центральная}
$$
Взвешенная аппроксимация первого порядка
Аппроксимацию производной 1-го порядка можно задать как линейную комбинацию левой и правой разностей:
$$
\lambda_{x}^{\sigma} u = \sigma \frac{u_{j+1} - u_{j}}{h} + (1 - \sigma) \frac{u_{j} - u_{j-1}}{h}, \quad 0 \leqslant \sigma \leqslant 1
$$
Порядок аппроксимации. Разложение в ряд Тейлора
Для анализа порядка аппроксимации используется разложение в ряд Тейлора:
$$
u_{j+1} = u_{j}^{n} + \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j}^{n} h + \left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\right|_{j}^{n} h^{2} + \left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right|_{j}^{n} h^{3} + \cdots \tag{4}
$$
$$
u_{j-1} = u_{j}^{n} - \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j}^{n} h + \left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\right|_{j}^{n} h^{2} - \left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right|_{j}^{n} h^{3} + \cdots \tag{5}
$$
Пример 1. Порядок аппроксимации взвешенной схемы при $\sigma = 1/3$
Схема:
$$
\frac{1}{3} \cdot \frac{u_{j+1} - u_{j}}{h} + \frac{2}{3} \cdot \frac{u_{j} - u_{j-1}}{h}
$$
Подставляем (4) и (5):
$$
\frac{1}{3}\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j}^{n} + \left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\right|_{j}^{n} h + \cdots\right) + \frac{2}{3}\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j}^{n} - \left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\right|_{j}^{n} h + \cdots\right)
$$
$$
= \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j}^{n} + \left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\right|_{j}^{n} h \left(\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\right) + \cdots = \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j}^{n} + O(h)
$$
$$
\Rightarrow \quad \text{порядок аппроксимации } O(h) \text{ — первый}
$$
Пример 2. Порядок аппроксимации центральной разности
Схема:
$$
\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j} \approx \frac{u_{j+1} - u_{j-1}}{2h}
$$
Подставляем (4) и (5):
$$
\frac{u_{j+1} - u_{j-1}}{2h} = \frac{\left.2\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j}^{n} h + \left.\frac{2}{3!}\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right|_{j}^{n} h^{3} + \cdots}{2h} = \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j}^{n} + \left.\frac{1}{3!}\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right|_{j}^{n} h^{2} + \cdots
$$
$$
= \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{j}^{n} + O(h^{2})
$$
$$
\Rightarrow \quad \text{порядок аппроксимации } O(h^{2}) \text{ — второй}
$$
Явные и неявные разностные схемы
Пример 3. Явная схема для уравнения переноса
$$
\frac{\partial u}{\partial t} + 2\frac{\partial u}{\partial x} = tx, \quad \frac{\partial u}{\partial x} \text{ — левая конечная разность}
$$
$$
\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} + 2\,\frac{u_{j}^{n} - u_{j-1}^{n}}{h} = n\Delta t \cdot (j-1)h
$$
Пример 4. Неявная схема для уравнения переноса
$$
\frac{\partial u}{\partial t} - 4\frac{\partial u}{\partial x} = e^{t} e^{x}, \quad \frac{\partial u}{\partial x} \text{ — правая конечная разность}
$$
$$
\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} - 4\,\frac{u_{j+1}^{n+1} - u_{j}^{n+1}}{h} = e^{n\Delta t} \cdot e^{(j-1)h}
$$
Пример 5а. Явная схема для уравнения диффузии
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = 8\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + x e^{t}, \quad t \in [0,1],\quad x \in [0,1]
$$
Явная разностная схема:
$$
\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = 8\,\frac{u_{j+1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j-1}^{n}}{h^{2}} + (j-1)h \cdot e^{n\Delta t}
$$
Аппроксимация условий:
Начальное условие: $u(t{=}0,\, x) = x$
$$
u_{j}^{0} = (j-1)h
$$
Граничные условия II рода:
$$
\frac{\partial u}{\partial x}(t,\, x{=}0) = 0, \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t,\, x{=}1) = e^{t}
$$
Левое (левая разность):
$$
\frac{u_{2}^{n+1} - u_{1}^{n+1}}{h} = 0 \quad \Rightarrow \quad u_{2}^{n+1} = u_{1}^{n+1}
$$
Правое (правая разность):
$$
\frac{u_{N}^{n+1} - u_{N-1}^{n+1}}{h} = e^{(n+1)\Delta t} \quad \Rightarrow \quad u_{N}^{n+1} = h \cdot e^{(n+1)\Delta t} + u_{N-1}^{n+1}
$$
Пример 5б. Неявная схема для уравнения диффузии
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = 6\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + x^{2} t^{3}
$$
Неявная разностная схема:
$$
\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = 6\,\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}} + \left((j-1)h\right)^{2} \cdot (n\Delta t)^{3}
$$
Аппроксимация условий:
Начальное: $u(t{=}0,\, x) = 0$
$$
u_{j}^{0} = 0
$$
Граничные условия I рода:
$$
u_{1}^{n+1} = 0, \qquad u_{N}^{n+1} = \left[(n+1)\Delta t\right]^{3}
$$
Пример 7. Определение порядка аппроксимации по схеме
Дана схема:
$$
\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} - 0{,}1\,\frac{u_{j+1}^{n} - u_{j}^{n}}{h} = (j-1)h
$$
Исходное дифференциальное уравнение:
$$
\frac{\partial u}{\partial t} - 0{,}1\,\frac{\partial u}{\partial x} = x
$$
Порядок аппроксимации. Разложим $u_{j}^{n+1}$ в ряд Тейлора по $t$:
$$
u_{j}^{n+1} = u_{j}^{n} + \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{j}^{n} \Delta t + \left.\frac{1}{2!}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}\right|_{j}^{n} \Delta t^{2} + \cdots
$$
$$
\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{j}^{n} + O(\Delta t)
$$
Аналогично для правой разности по $x$: точность $O(h)$.
$$
\Rightarrow \quad \text{порядок аппроксимации } O(\Delta t,\, h) \text{ — первый по обоим направлениям}
$$
Пример 8. Явная схема, порядок аппроксимации, условия
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = 3\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + e^{t} + e^{x}, \quad t \in [0,1],\quad x \in [0,1]
$$
Явная разностная схема:
$$
\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = 3\,\frac{u_{j+1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j-1}^{n}}{h^{2}} + e^{n\Delta t} + e^{(j-1)h}
$$
Аппроксимация условий:
$$
u_{j}^{0} = e^{(j-1)h}, \qquad u_{1}^{n+1} = e^{(n+1)\Delta t}, \qquad u_{N}^{n+1} = e^{(n+1)\Delta t + 1}
$$
Порядок аппроксимации по пространству: подставим (4) и (5) в разность второго порядка:
$$
\frac{u_{j+1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j-1}^{n}}{h^{2}} = \left.\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\right|_{j}^{n} + \left.\frac{1}{4!}\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}}\right|_{j}^{n} h^{2} + \cdots = \left.\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\right|_{j}^{n} + O(h^{2})
$$
$$
\Rightarrow \quad \text{порядок аппроксимации } O(\Delta t,\, h^{2})
$$
Пример 9. Явная схема для уравнения переноса
$$
\frac{\partial u}{\partial t} + 5\frac{\partial u}{\partial x} = x^{2} + t + 3, \quad t \in [0,1],\quad x \in [0,1]
$$
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$ — левая конечная разность.
Явная разностная схема:
$$
\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} + 5\,\frac{u_{j}^{n} - u_{j-1}^{n}}{h} = \left((j-1)h\right)^{2} + n\Delta t + 3
$$
Аппроксимация условий:
Начальное: $u(t{=}0,\, x) = 0$
$$
u_{j}^{0} = 0
$$
Граничное I рода (левое):
$$
u_{1}^{n+1} = \left((n+1)\Delta t\right)^{2} + 1
$$
Порядок аппроксимации: $O(\Delta t,\, h)$
Типы граничных условий
Задача: поперечная диффузия в реакторе
$$
\frac{\partial C}{\partial t} = D_r \frac{\partial^{2} C}{\partial r^{2}} - kC, \quad C = C(t, r), \quad r \in [0, R],\quad t \in [0, T]
$$
$$
D_r = 10^{-5}\ \text{м}^2/\text{с}, \quad k = 10^{-4}\ \text{с}^{-1}
$$
Тип уравнения: параболический.
Граничные условия:
Левое (центр трубы, $r = 0$): в центре скорость потока максимальна, градиент концентрации равен нулю — условие II рода:
$$
\frac{\partial C}{\partial r}(t,\, r{=}0) = 0
$$
Правое (стенка трубы, $r = R$): у стенки скорость потока равна нулю, поток вещества отсутствует — условие I рода:
$$
C(t,\, r{=}R) = 0
$$
Условие III рода применяется на границе раздела фаз, где происходит массо- или теплопередача:
$$
D\,\frac{\partial C}{\partial x}(t,\, x{=}l) = \beta\left[C(t,\, x{=}l) - C_{\text{ср}}(t)\right]
$$
где $\beta$ — коэффициент массопередачи, $C_{\text{ср}}$ — концентрация в объёме.
Домашнее задание
Задача 1.
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = 10^{-3}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \sqrt{t}\cdot x^{2}, \quad t \in [0,1],\quad x \in [0,1]
$$
$$
u(t{=}0,\, x) = 0, \qquad u(t,\, x{=}0) = 0, \qquad u(t,\, x{=}1) = \sqrt{t}
$$
Записать явную разностную схему, определить порядок аппроксимации, аппроксимировать начальное и граничные условия.
Задача 2.
$$
\frac{\partial u}{\partial t} + 10\frac{\partial u}{\partial x} = t + x, \quad t \in [0,1],\quad x \in [0,1]
$$
$$
u(t{=}0,\, x) = x, \qquad u(t,\, x{=}0) = t
$$
Записать явную разностную схему, определить порядок аппроксимации, аппроксимировать начальное и граничное условие.