Пример 1
$$
\frac{\partial U}{\partial t} = 4\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + t + e^x, \qquad U(t{=}0,\, x) = e^x
$$
$$
\begin{cases}
U(t,\, x{=}0) = t + 1 \\[4pt]
\dfrac{\partial U}{\partial x}(t,\, x{=}1) = 2t + e
\end{cases}
$$
Алгоритм решения:
- Записать схему Кранка-Николсона
- Привести к виду, удобному для прогонки
- Проверить сходимость прогонки
- Вывести $\alpha_j$, $\beta_j$
- Получить $\alpha_1$, $\beta_1$ из ЛГУ
- Найти $U_{N_x}^{n+1}$ из ПГУ
- Записать рекуррентное прогоночное соотношение
- Записать блок-схему
1) Схема Кранка-Николсона
$$
\frac{U_j^{n+1} - U_j^n}{\Delta t} = 2\,\frac{U_{j+1}^{n+1} - 2U_j^{n+1} + U_{j-1}^{n+1}}{h^2} + 2\,\frac{U_{j+1}^n - 2U_j^n + U_{j-1}^n}{h^2} + n\Delta t + e^{(j-1)h}
$$
2) Приведение к виду для прогонки
$$
U_{j+1}^{n+1}\!\left[\frac{-2\Delta t}{h^2}\right] + U_j^{n+1}\!\left[1 + \frac{4\Delta t}{h^2}\right] + U_{j-1}^{n+1}\!\left[\frac{-2\Delta t}{h^2}\right] =
$$
$$
= U_j^n + \frac{2\Delta t}{h^2}\,\frac{U_{j+1}^n - 2U_j^n + U_{j-1}^n}{h^2} \cdot h^2 + \Delta t\!\left[n\Delta t + e^{(j-1)h}\right]
$$
Обозначения коэффициентов:
$$
a_j = \frac{-2\Delta t}{h^2}, \qquad b_j = 1 + \frac{4\Delta t}{h^2}, \qquad c_j = \frac{-2\Delta t}{h^2}, \qquad \xi_j^n = \beta_j^n
$$
3) Условие сходимости прогонки
$$
|a_j| + |c_j| < |b_j|
$$
$$
\frac{4\Delta t}{h^2} < 1 + \frac{4\Delta t}{h^2} \quad \checkmark
$$
Условие выполнено при любых $\Delta t$ и $h$.
4) Вывод $\alpha_j$, $\beta_j$
Прогоночное соотношение:
$$
U_{j+1}^{n+1}\cdot[a_j] + U_j^{n+1}\cdot[b_j] + U_{j-1}^{n+1}\cdot[c_j] = \xi_j^n
$$
Связь: $U_{j-1}^{n+1} = \alpha_{j-1}\cdot U_j^{n+1} + \beta_{j-1}$. Подставляем:
$$
U_{j+1}^{n+1}\cdot[a_j] + U_j^{n+1}\cdot[b_j] + [c_j]\cdot\left[\alpha_{j-1}\cdot U_j^{n+1} + \beta_{j-1}\right] = \xi_j^n
$$
Приводим к виду прогоночного соотношения:
$$
U_j^{n+1} = \alpha_j\cdot U_{j+1}^{n+1} + \beta_j
$$
Тогда:
$$
U_j^{n+1} = -\frac{a_j}{b_j + c_j\cdot\alpha_{j-1}}\cdot U_{j+1}^{n+1} + \frac{\xi_j^n - c_j\cdot\beta_{j-1}}{b_j + c_j\cdot\alpha_{j-1}}
$$
$$
\alpha_j = -\frac{a_j}{b_j + c_j\cdot\alpha_{j-1}}, \qquad \beta_j = \frac{\xi_j^n - c_j\cdot\beta_{j-1}}{b_j + c_j\cdot\alpha_{j-1}}
$$
5) $\alpha_1$, $\beta_1$ из ЛГУ
$$
\frac{U_2^{n+1} - U_1^{n+1}}{h} = \left((n+1)\Delta t\right)^2
$$
$$
U_1^{n+1} = U_2^{n+1} - h\cdot\left[(n+1)\Delta t\right]^2
$$
$$
U_1^{n+1} = \alpha_1\cdot U_2^{n+1} + \beta_1 \quad \Rightarrow
$$
$$
\alpha_1 = 1, \qquad \beta_1 = -h\cdot\left((n+1)\Delta t\right)^2
$$
6) $U_{N_x}^{n+1}$ из ПГУ
$$
U_{N_x}^{n+1} = \left((n+1)\Delta t\right)^2 + 1
$$
7) Рекуррентное прогоночное соотношение
$$
U_j^{n+1} = \alpha_{j-1}\cdot U_{j+1}^{n+1} + \beta_{j-1}
$$
Пример 2
$$
\frac{\partial U}{\partial t} = 2\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + 2U + t^2 + x^3, \qquad U(t{=}0,\, x) = x^3
$$
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial U}{\partial x}(t,\, x{=}0) = t^2 \\[6pt]
U(t,\, x{=}1) = t^2 + 1
\end{cases}
$$
Пп. 1–8 аналогичны примеру 1.
1) Схема Кранка-Николсона
$$
\frac{U_j^{n+1} - U_j^n}{\Delta t} = \frac{U_{j+1}^{n+1} - 2U_j^{n+1} + U_{j-1}^{n+1}}{h^2} + \frac{U_{j+1}^n - 2U_j^n + U_{j-1}^n}{h} + U_j^{n+1} + U_j^n + (n\Delta t)^2 + \left[(j-1)h\right]^3
$$
2) Приведение к виду для прогонки
$$
U_{j+1}^{n+1}\!\left[\frac{-\Delta t}{h^2}\right] + U_j^{n+1}\!\left[1 + \frac{2\Delta t}{h^2} - \Delta t\right] + U_{j-1}^{n+1}\!\left[\frac{-\Delta t}{h^2}\right] =
$$
$$
= U_j^n + \Delta t\cdot U_j^n + \Delta t\cdot\left[(n\Delta t)^2 + \left[(j-1)h\right]^3\right]
$$
3) Условие сходимости
$$
\frac{\Delta t}{h^2} + \frac{\Delta t}{h^2} \leq 1 + \frac{2\Delta t}{h^2} - \Delta t
$$
$$
0 < 1 - \Delta t
$$
$$
\Delta t < 1
$$
4) См. пример 1.
5) $\alpha_1$, $\beta_1$ из ЛГУ
$$
U_1^{n+1} = (n+1)\Delta t + 1
$$
$$
U_1^{n+1} = \alpha_1\cdot U_2^{n+1} + \beta_1^{n+1}
$$
$$
U_1^{n+1} = 0\cdot U_2^{n+1} + (n+1)\Delta t + 1 \quad \Rightarrow
$$
$$
\alpha_1 = 0, \qquad \beta_1 = (n+1)\Delta t + 1
$$
6) $U_{N_x}^{n+1}$ из ПГУ
$$
\frac{U_{N_x}^{n+1} - U_{N_x-1}^{n+1}}{h} = 2{,}7 + (n+1)\Delta t
$$
Используя связь $U_{N_x-1}^{n+1} = \alpha_{N_x-1}\cdot U_{N_x}^{n+1} + \beta_{N_x-1}$:
$$
\frac{U_{N_x}^{n+1} - \alpha_{N_x-1}\cdot U_{N_x}^{n+1} - \beta_{N_x-1}}{h} = 2{,}7 + (n+1)\Delta t
$$
$$
U_{N_x}^{n+1} = \frac{\left[2{,}7 + (n+1)\Delta t\right]h + \beta_{N_x-1}}{1 - \alpha_{N_x-1}}
$$
7) Рекуррентное прогоночное соотношение
$$
U_j^{n+1} = \alpha_j\cdot U_{j+1}^{n+1} + \beta_j
$$
Д/З. Семинар 6
Задача 1
$$
\frac{\partial U}{\partial t} = 10^{-2}\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - 10^{-3}U + tx
$$
$$
U(t{=}0,\, x) = 0
$$
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial U}{\partial x}(t,\, x{=}0) = t \\[6pt]
\dfrac{\partial U}{\partial x}(t,\, x{=}1) = 2t
\end{cases}
$$
Пп. 1–8 примера 1 из семинара 5.
Задача 2
$$
\frac{\partial U}{\partial t} = 10^{-5}\,\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + 10^{-4}U + t^2
$$
$$
U(t{=}0,\, x) = x
$$
$$
\begin{cases}
U(t,\, x{=}0) = t^2 \\[6pt]
\dfrac{\partial U}{\partial t}(t,\, x{=}1) = t + U(t,\, x{=}1)
\end{cases}
$$
Пп. 1–7 примера 1.
Постскриптум: В п. 1 примера 1 (стр. 1) правая часть схемы Кранка-Николсона содержит делитель $h^2$ во втором слагаемом правой части: в оригинале знаменатель у второй дроби написан как $h$ (без квадрата), что противоречит стандартной форме схемы — восстановлено как $h^2$. В задаче 2 семинара 6 второе граничное условие записано через $\partial U / \partial t$, что нетипично; сохранено как в оригинале.