Раздел 24. **24.** Построить тестовую задачу для проверки устойчивости разностной схемы, аппроксимирующей уравнение

Метод тестовых задач (кратко)

Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x,\dots$) и не содержит саму искомую функцию (разбор вопроса 25, гл. 15.3.1). Поэтому, чтобы проверить устойчивость схемы для уравнения, точное решение которого неизвестно, поступают так:

1. Задают тест $\tilde u$ — функцию только от независимых переменных (тип теста берут такой же, как у свободного члена; здесь свободные члены алгебраические, поэтому берём алгебраический тест $\tilde u=t\,x^2$, как в примере гл. 15.3.2).
2. Подставляют $\tilde u$ в левую часть и в операторные слагаемые исходного уравнения и подбирают добавку $\varphi(t,x)$ к свободному члену так, чтобы $\tilde u$ стал точным решением. Слагаемые, содержащие саму функцию $u$, при этом остаются в уравнении (они влияют на устойчивость), меняется только свободный член.
3. Начальное и граничные условия задают через сам тест $\tilde u=t x^2$, получая замкнутую корректную тестовую задачу, отличающуюся от исходной только свободным членом.
4. Решают тестовую задачу исследуемой схемой и сравнивают численное решение $u_j^n$ с точным $[\tilde u(t^n,x_j)]=t^n x_j^2$ в узлах сетки: если $\max_{j,n}\bigl|u_j^n-t^n x_j^2\bigr|\le\varepsilon$ — схема устойчива (и пригодна для исходного уравнения); если ошибка нарастает — неустойчива, берут другую схему.

Производные теста $\tilde u=t x^2$, нужные ниже: $\dfrac{\partial\tilde u}{\partial t}=x^2,\quad \dfrac{\partial\tilde u}{\partial x}=2tx,\quad \dfrac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}=2t.$

Задача 24.1

Исходное уравнение $\dfrac{\partial u}{\partial t}+x\dfrac{\partial u}{\partial x}=e^{t}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2xe^{t}.$ Свободный член $2xe^t$ — берём добавку $\varphi(t,x)$:

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}+x\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=e^{t}\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+2xe^{t}+\varphi(t,x).$$

Подставляем $\tilde u=tx^2$ (т.е. $\tilde u_t=x^2,\ \tilde u_x=2tx,\ \tilde u_{xx}=2t$):

$$x^2+x\cdot 2tx=e^{t}\cdot 2t+2xe^{t}+\varphi\;\Rightarrow\;x^2+2tx^2=2te^{t}+2xe^{t}+\varphi.$$

Откуда

$$\boxed{\varphi(t,x)=x^2+2tx^2-2te^{t}-2xe^{t}.}$$

Тестовая задача (отличается от исходной только свободным членом):

$$\frac{\partial u}{\partial t}+x\frac{\partial u}{\partial x}=e^{t}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2xe^{t}+\bigl(x^2+2tx^2-2te^{t}-2xe^{t}\bigr).$$

Условия задаём через тест $\tilde u=tx^2$ (учитывая, что в исходной задаче на правой границе стоит условие $u_x=u$, поэтому туда подставляем значения теста):

$$u(0,x)=0;\qquad u(t,0)=0;\qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t,1)=2t\ \bigl(=\tilde u_x(t,1)\bigr),\quad u(t,1)=t.$$

Проверка: решаем эту задачу схемой и сравниваем $u_j^n$ с $t^n x_j^2$ по критерию $\max|u_j^n-t^n x_j^2|\le\varepsilon$. Совпадение $\Rightarrow$ схема устойчива и годится для исходного уравнения.

Метод тестовых задач (кратко)

Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x,\dots$) и не содержит саму искомую функцию (разбор вопроса 25, гл. 15.3.1). Поэтому, чтобы проверить устойчивость схемы для уравнения, точное решение которого неизвестно, поступают так:

1. Задают тест $\tilde u$ — функцию только от независимых переменных (тип теста берут такой же, как у свободного члена; здесь свободные члены алгебраические, поэтому берём алгебраический тест $\tilde u=t\,x^2$, как в примере гл. 15.3.2).
2. Подставляют $\tilde u$ в левую часть и в операторные слагаемые исходного уравнения и подбирают добавку $\varphi(t,x)$ к свободному члену так, чтобы $\tilde u$ стал точным решением. Слагаемые, содержащие саму функцию $u$, при этом остаются в уравнении (они влияют на устойчивость), меняется только свободный член.
3. Начальное и граничные условия задают через сам тест $\tilde u=t x^2$, получая замкнутую корректную тестовую задачу, отличающуюся от исходной только свободным членом.
4. Решают тестовую задачу исследуемой схемой и сравнивают численное решение $u_j^n$ с точным $[\tilde u(t^n,x_j)]=t^n x_j^2$ в узлах сетки: если $\max_{j,n}\bigl|u_j^n-t^n x_j^2\bigr|\le\varepsilon$ — схема устойчива (и пригодна для исходного уравнения); если ошибка нарастает — неустойчива, берут другую схему.

Производные теста $\tilde u=t x^2$, нужные ниже: $\dfrac{\partial\tilde u}{\partial t}=x^2,\quad \dfrac{\partial\tilde u}{\partial x}=2tx,\quad \dfrac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}=2t.$

Задача 24.2

$2\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2(u+e^{x}).$ Слагаемое $-2u$ содержит искомую функцию — оно остаётся в уравнении и влияет на устойчивость; свободный член $-2e^x$ дополняем добавкой $\varphi$:

$$2\frac{\partial\tilde u}{\partial t}=\frac{\partial\tilde u}{\partial x}+\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}-2(\tilde u+e^{x})+\varphi.$$

Подставляем $\tilde u=tx^2$:

$$2x^2=2tx+2t-2(tx^2+e^{x})+\varphi.$$$$\boxed{\varphi(t,x)=2x^2+2tx^2-2tx-2t+2e^{x}.}$$

Тестовая задача:

$$2\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2(u+e^{x})+\bigl(2x^2+2tx^2-2tx-2t+2e^{x}\bigr).$$

Условия через тест $\tilde u=tx^2$:

$$u(0,x)=0;\qquad u(t,0)=0;\qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t,1)=2t,\quad u(t,1)=t.$$

Проверка: сравнение $u_j^n$ с $t^n x_j^2$; $\max|u_j^n-t^n x_j^2|\le\varepsilon\Rightarrow$ устойчива.

Метод тестовых задач (кратко)

Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x,\dots$) и не содержит саму искомую функцию (разбор вопроса 25, гл. 15.3.1). Поэтому, чтобы проверить устойчивость схемы для уравнения, точное решение которого неизвестно, поступают так:

1. Задают тест $\tilde u$ — функцию только от независимых переменных (тип теста берут такой же, как у свободного члена; здесь свободные члены алгебраические, поэтому берём алгебраический тест $\tilde u=t\,x^2$, как в примере гл. 15.3.2).
2. Подставляют $\tilde u$ в левую часть и в операторные слагаемые исходного уравнения и подбирают добавку $\varphi(t,x)$ к свободному члену так, чтобы $\tilde u$ стал точным решением. Слагаемые, содержащие саму функцию $u$, при этом остаются в уравнении (они влияют на устойчивость), меняется только свободный член.
3. Начальное и граничные условия задают через сам тест $\tilde u=t x^2$, получая замкнутую корректную тестовую задачу, отличающуюся от исходной только свободным членом.
4. Решают тестовую задачу исследуемой схемой и сравнивают численное решение $u_j^n$ с точным $[\tilde u(t^n,x_j)]=t^n x_j^2$ в узлах сетки: если $\max_{j,n}\bigl|u_j^n-t^n x_j^2\bigr|\le\varepsilon$ — схема устойчива (и пригодна для исходного уравнения); если ошибка нарастает — неустойчива, берут другую схему.

Производные теста $\tilde u=t x^2$, нужные ниже: $\dfrac{\partial\tilde u}{\partial t}=x^2,\quad \dfrac{\partial\tilde u}{\partial x}=2tx,\quad \dfrac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}=2t.$

Задача 24.3

$\dfrac{\partial u}{\partial t}+3\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+e^{x}(2t+1).$ Свободный член $e^x(2t+1)$:

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}+3\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}+e^{x}(2t+1)+\varphi.$$

$\tilde u=tx^2$:

$$x^2+3\cdot 2tx=2t+e^{x}(2t+1)+\varphi.$$$$\boxed{\varphi(t,x)=x^2+6tx-2t-(2t+1)e^{x}.}$$

Тестовая задача:

$$\frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+e^{x}(2t+1)+\bigl(x^2+6tx-2t-(2t+1)e^{x}\bigr).$$

Условия через тест $\tilde u=tx^2$:

$$u(0,x)=0;\qquad u(t,0)=0;\qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t,1)=2t,\quad u(t,1)=t.$$

Проверка: $\max|u_j^n-t^n x_j^2|\le\varepsilon\Rightarrow$ схема устойчива.

Метод тестовых задач (кратко)

Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x,\dots$) и не содержит саму искомую функцию (разбор вопроса 25, гл. 15.3.1). Поэтому, чтобы проверить устойчивость схемы для уравнения, точное решение которого неизвестно, поступают так:

1. Задают тест $\tilde u$ — функцию только от независимых переменных (тип теста берут такой же, как у свободного члена; здесь свободные члены алгебраические, поэтому берём алгебраический тест $\tilde u=t\,x^2$, как в примере гл. 15.3.2).
2. Подставляют $\tilde u$ в левую часть и в операторные слагаемые исходного уравнения и подбирают добавку $\varphi(t,x)$ к свободному члену так, чтобы $\tilde u$ стал точным решением. Слагаемые, содержащие саму функцию $u$, при этом остаются в уравнении (они влияют на устойчивость), меняется только свободный член.
3. Начальное и граничные условия задают через сам тест $\tilde u=t x^2$, получая замкнутую корректную тестовую задачу, отличающуюся от исходной только свободным членом.
4. Решают тестовую задачу исследуемой схемой и сравнивают численное решение $u_j^n$ с точным $[\tilde u(t^n,x_j)]=t^n x_j^2$ в узлах сетки: если $\max_{j,n}\bigl|u_j^n-t^n x_j^2\bigr|\le\varepsilon$ — схема устойчива (и пригодна для исходного уравнения); если ошибка нарастает — неустойчива, берут другую схему.

Производные теста $\tilde u=t x^2$, нужные ниже: $\dfrac{\partial\tilde u}{\partial t}=x^2,\quad \dfrac{\partial\tilde u}{\partial x}=2tx,\quad \dfrac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}=2t.$

Задача 24.4

$\dfrac{\partial c}{\partial t}=D\dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2}-kc.$ Здесь свободного члена с независимыми переменными нет (начальные/граничные функции $c^0,c_1,c_2$ — произвольные), а слагаемое $-kc$ содержит искомую функцию и остаётся в уравнении. Вводим добавку $\varphi$:

$$\frac{\partial\tilde c}{\partial t}=D\frac{\partial^2\tilde c}{\partial x^2}-k\tilde c+\varphi.$$

Тест $\tilde c=tx^2$ ($\tilde c_t=x^2,\ \tilde c_{xx}=2t$):

$$x^2=2Dt-k\,tx^2+\varphi.$$$$\boxed{\varphi(t,x)=x^2-2Dt+k\,tx^2.}$$

Тестовая задача:

$$\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}-kc+\bigl(x^2-2Dt+k\,tx^2\bigr).$$

Условия через тест $\tilde c=tx^2$ (заменяя произвольные $c^0,c_1,c_2$ на значения теста):

$$c(0,x)=0;\qquad c(t,0)=0;\qquad c(t,1)=t.$$

Проверка: сравниваем $c_j^n$ с $t^n x_j^2$; $\max|c_j^n-t^n x_j^2|\le\varepsilon\Rightarrow$ схема устойчива.

Метод тестовых задач (кратко)

Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x,\dots$) и не содержит саму искомую функцию (разбор вопроса 25, гл. 15.3.1). Поэтому, чтобы проверить устойчивость схемы для уравнения, точное решение которого неизвестно, поступают так:

1. Задают тест $\tilde u$ — функцию только от независимых переменных (тип теста берут такой же, как у свободного члена; здесь свободные члены алгебраические, поэтому берём алгебраический тест $\tilde u=t\,x^2$, как в примере гл. 15.3.2).
2. Подставляют $\tilde u$ в левую часть и в операторные слагаемые исходного уравнения и подбирают добавку $\varphi(t,x)$ к свободному члену так, чтобы $\tilde u$ стал точным решением. Слагаемые, содержащие саму функцию $u$, при этом остаются в уравнении (они влияют на устойчивость), меняется только свободный член.
3. Начальное и граничные условия задают через сам тест $\tilde u=t x^2$, получая замкнутую корректную тестовую задачу, отличающуюся от исходной только свободным членом.
4. Решают тестовую задачу исследуемой схемой и сравнивают численное решение $u_j^n$ с точным $[\tilde u(t^n,x_j)]=t^n x_j^2$ в узлах сетки: если $\max_{j,n}\bigl|u_j^n-t^n x_j^2\bigr|\le\varepsilon$ — схема устойчива (и пригодна для исходного уравнения); если ошибка нарастает — неустойчива, берут другую схему.

Производные теста $\tilde u=t x^2$, нужные ниже: $\dfrac{\partial\tilde u}{\partial t}=x^2,\quad \dfrac{\partial\tilde u}{\partial x}=2tx,\quad \dfrac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}=2t.$

Задача 24.5

$\dfrac{\partial c}{\partial t}=D\dfrac{\partial^2 c}{\partial x^2}-kc^2.$ Нелинейное слагаемое $-kc^2$ содержит искомую функцию — остаётся в уравнении; вводим $\varphi$:

$$\frac{\partial\tilde c}{\partial t}=D\frac{\partial^2\tilde c}{\partial x^2}-k\tilde c^{\,2}+\varphi.$$

Тест $\tilde c=tx^2$ ($\tilde c^2=t^2x^4$):

$$x^2=2Dt-k\,t^2x^4+\varphi.$$$$\boxed{\varphi(t,x)=x^2-2Dt+k\,t^2x^4.}$$

Тестовая задача:

$$\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}-kc^2+\bigl(x^2-2Dt+k\,t^2x^4\bigr).$$

Условия через тест $\tilde c=tx^2$:

$$c(0,x)=0;\qquad c(t,0)=0;\qquad c(t,1)=t.$$

Проверка: $\max|c_j^n-t^n x_j^2|\le\varepsilon\Rightarrow$ схема устойчива. Так как $-kc^2$ оставлено в уравнении, тест проверяет устойчивость именно для нелинейной схемы.

Метод тестовых задач (кратко)

Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x,\dots$) и не содержит саму искомую функцию (разбор вопроса 25, гл. 15.3.1). Поэтому, чтобы проверить устойчивость схемы для уравнения, точное решение которого неизвестно, поступают так:

1. Задают тест $\tilde u$ — функцию только от независимых переменных (тип теста берут такой же, как у свободного члена; здесь свободные члены алгебраические, поэтому берём алгебраический тест $\tilde u=t\,x^2$, как в примере гл. 15.3.2).
2. Подставляют $\tilde u$ в левую часть и в операторные слагаемые исходного уравнения и подбирают добавку $\varphi(t,x)$ к свободному члену так, чтобы $\tilde u$ стал точным решением. Слагаемые, содержащие саму функцию $u$, при этом остаются в уравнении (они влияют на устойчивость), меняется только свободный член.
3. Начальное и граничные условия задают через сам тест $\tilde u=t x^2$, получая замкнутую корректную тестовую задачу, отличающуюся от исходной только свободным членом.
4. Решают тестовую задачу исследуемой схемой и сравнивают численное решение $u_j^n$ с точным $[\tilde u(t^n,x_j)]=t^n x_j^2$ в узлах сетки: если $\max_{j,n}\bigl|u_j^n-t^n x_j^2\bigr|\le\varepsilon$ — схема устойчива (и пригодна для исходного уравнения); если ошибка нарастает — неустойчива, берут другую схему.

Производные теста $\tilde u=t x^2$, нужные ниже: $\dfrac{\partial\tilde u}{\partial t}=x^2,\quad \dfrac{\partial\tilde u}{\partial x}=2tx,\quad \dfrac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}=2t.$

Задача 24.6

$3\dfrac{\partial u}{\partial t}=2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}-3u.$ Слагаемое $-3u$ остаётся в уравнении; вводим $\varphi$:

$$3\frac{\partial\tilde u}{\partial t}=2\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}-3\tilde u+\varphi.$$

Тест $\tilde u=tx^2$:

$$3x^2=2\cdot 2t-3tx^2+\varphi.$$$$\boxed{\varphi(t,x)=3x^2+3tx^2-4t.}$$

Тестовая задача:

$$3\frac{\partial u}{\partial t}=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-3u+\bigl(3x^2+3tx^2-4t\bigr).$$

Условия через тест $\tilde u=tx^2$:

$$u(0,x)=0;\qquad u(t,0)=0;\qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t,1)=2t,\quad u(t,1)=t.$$

Проверка: $\max|u_j^n-t^n x_j^2|\le\varepsilon\Rightarrow$ схема устойчива.

Метод тестовых задач (кратко)

Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x,\dots$) и не содержит саму искомую функцию (разбор вопроса 25, гл. 15.3.1). Поэтому, чтобы проверить устойчивость схемы для уравнения, точное решение которого неизвестно, поступают так:

1. Задают тест $\tilde u$ — функцию только от независимых переменных (тип теста берут такой же, как у свободного члена; здесь свободные члены алгебраические, поэтому берём алгебраический тест $\tilde u=t\,x^2$, как в примере гл. 15.3.2).
2. Подставляют $\tilde u$ в левую часть и в операторные слагаемые исходного уравнения и подбирают добавку $\varphi(t,x)$ к свободному члену так, чтобы $\tilde u$ стал точным решением. Слагаемые, содержащие саму функцию $u$, при этом остаются в уравнении (они влияют на устойчивость), меняется только свободный член.
3. Начальное и граничные условия задают через сам тест $\tilde u=t x^2$, получая замкнутую корректную тестовую задачу, отличающуюся от исходной только свободным членом.
4. Решают тестовую задачу исследуемой схемой и сравнивают численное решение $u_j^n$ с точным $[\tilde u(t^n,x_j)]=t^n x_j^2$ в узлах сетки: если $\max_{j,n}\bigl|u_j^n-t^n x_j^2\bigr|\le\varepsilon$ — схема устойчива (и пригодна для исходного уравнения); если ошибка нарастает — неустойчива, берут другую схему.

Производные теста $\tilde u=t x^2$, нужные ниже: $\dfrac{\partial\tilde u}{\partial t}=x^2,\quad \dfrac{\partial\tilde u}{\partial x}=2tx,\quad \dfrac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}=2t.$

Задача 24.7

$\dfrac{\partial u}{\partial t}=2\!\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}-u\right)+e^{x}.$ Слагаемое $-2u$ остаётся; свободный член $e^x$ дополняем $\varphi$:

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial t}=2\!\left(\frac{\partial\tilde u}{\partial x}-\tilde u\right)+e^{x}+\varphi.$$

Тест $\tilde u=tx^2$:

$$x^2=2(2tx-tx^2)+e^{x}+\varphi.$$$$\boxed{\varphi(t,x)=x^2-4tx+2tx^2-e^{x}.}$$

Тестовая задача:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=2\!\left(\frac{\partial u}{\partial x}-u\right)+e^{x}+\bigl(x^2-4tx+2tx^2-e^{x}\bigr).$$

В исходной задаче задано лишь одно условие на границе $x=1$; для теста (уравнение 1-го порядка по $x$ в конвективной части) задаём начальное условие и одно граничное через $\tilde u=tx^2$:

$$u(0,x)=0;\qquad u(t,1)=t.$$

Проверка: $\max|u_j^n-t^n x_j^2|\le\varepsilon\Rightarrow$ схема устойчива.

Метод тестовых задач (кратко)

Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x,\dots$) и не содержит саму искомую функцию (разбор вопроса 25, гл. 15.3.1). Поэтому, чтобы проверить устойчивость схемы для уравнения, точное решение которого неизвестно, поступают так:

1. Задают тест $\tilde u$ — функцию только от независимых переменных (тип теста берут такой же, как у свободного члена; здесь свободные члены алгебраические, поэтому берём алгебраический тест $\tilde u=t\,x^2$, как в примере гл. 15.3.2).
2. Подставляют $\tilde u$ в левую часть и в операторные слагаемые исходного уравнения и подбирают добавку $\varphi(t,x)$ к свободному члену так, чтобы $\tilde u$ стал точным решением. Слагаемые, содержащие саму функцию $u$, при этом остаются в уравнении (они влияют на устойчивость), меняется только свободный член.
3. Начальное и граничные условия задают через сам тест $\tilde u=t x^2$, получая замкнутую корректную тестовую задачу, отличающуюся от исходной только свободным членом.
4. Решают тестовую задачу исследуемой схемой и сравнивают численное решение $u_j^n$ с точным $[\tilde u(t^n,x_j)]=t^n x_j^2$ в узлах сетки: если $\max_{j,n}\bigl|u_j^n-t^n x_j^2\bigr|\le\varepsilon$ — схема устойчива (и пригодна для исходного уравнения); если ошибка нарастает — неустойчива, берут другую схему.

Производные теста $\tilde u=t x^2$, нужные ниже: $\dfrac{\partial\tilde u}{\partial t}=x^2,\quad \dfrac{\partial\tilde u}{\partial x}=2tx,\quad \dfrac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}=2t.$

Задача 24.8

$2\dfrac{\partial u}{\partial t}+3\dfrac{\partial u}{\partial x}=u(2x+3t).$ Слагаемое $u(2x+3t)$ содержит искомую функцию — остаётся в уравнении; вводим $\varphi$:

$$2\frac{\partial\tilde u}{\partial t}+3\frac{\partial\tilde u}{\partial x}=\tilde u(2x+3t)+\varphi.$$

Тест $\tilde u=tx^2$ ($\tilde u_t=x^2,\ \tilde u_x=2tx$):

$$2x^2+3\cdot 2tx=tx^2(2x+3t)+\varphi.$$$$\boxed{\varphi(t,x)=2x^2+6tx-tx^2(2x+3t)=2x^2+6tx-2tx^3-3t^2x^2.}$$

Тестовая задача:

$$2\frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}=u(2x+3t)+\bigl(2x^2+6tx-2tx^3-3t^2x^2\bigr).$$

Уравнение 1-го порядка (по $t$ и по $x$); условия через тест $\tilde u=tx^2$:

$$u(0,x)=0;\qquad u(t,0)=0.$$

Проверка: $\max|u_j^n-t^n x_j^2|\le\varepsilon\Rightarrow$ схема устойчива.

Метод тестовых задач (кратко)

Устойчивость разностной схемы не зависит от вида свободного члена уравнения, если этот член содержит только независимые переменные ($t,x,\dots$) и не содержит саму искомую функцию (разбор вопроса 25, гл. 15.3.1). Поэтому, чтобы проверить устойчивость схемы для уравнения, точное решение которого неизвестно, поступают так:

1. Задают тест $\tilde u$ — функцию только от независимых переменных (тип теста берут такой же, как у свободного члена; здесь свободные члены алгебраические, поэтому берём алгебраический тест $\tilde u=t\,x^2$, как в примере гл. 15.3.2).
2. Подставляют $\tilde u$ в левую часть и в операторные слагаемые исходного уравнения и подбирают добавку $\varphi(t,x)$ к свободному члену так, чтобы $\tilde u$ стал точным решением. Слагаемые, содержащие саму функцию $u$, при этом остаются в уравнении (они влияют на устойчивость), меняется только свободный член.
3. Начальное и граничные условия задают через сам тест $\tilde u=t x^2$, получая замкнутую корректную тестовую задачу, отличающуюся от исходной только свободным членом.
4. Решают тестовую задачу исследуемой схемой и сравнивают численное решение $u_j^n$ с точным $[\tilde u(t^n,x_j)]=t^n x_j^2$ в узлах сетки: если $\max_{j,n}\bigl|u_j^n-t^n x_j^2\bigr|\le\varepsilon$ — схема устойчива (и пригодна для исходного уравнения); если ошибка нарастает — неустойчива, берут другую схему.

Производные теста $\tilde u=t x^2$, нужные ниже: $\dfrac{\partial\tilde u}{\partial t}=x^2,\quad \dfrac{\partial\tilde u}{\partial x}=2tx,\quad \dfrac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}=2t.$

Задача 24.9

$2\!\left(\dfrac{\partial u}{\partial t}-\dfrac{\partial u}{\partial x}+2t+1\right)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$, т.е. $2\dfrac{\partial u}{\partial t}-2\dfrac{\partial u}{\partial x}+(4t+2)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$. Свободный член $(4t+2)$ дополняем $\varphi$:

$$2\frac{\partial\tilde u}{\partial t}-2\frac{\partial\tilde u}{\partial x}+(4t+2)+\varphi=\frac{\partial^2\tilde u}{\partial x^2}.$$

Тест $\tilde u=tx^2$:

$$2x^2-2\cdot 2tx+(4t+2)+\varphi=2t.$$$$\boxed{\varphi(t,x)=2t-2x^2+4tx-4t-2=-2x^2+4tx-2t-2.}$$

Тестовая задача (записываем в исходной форме):

$$2\!\left(\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial u}{\partial x}+2t+1\right)=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\bigl(2x^2-4tx+2t+2\bigr).$$

(при переносе $\varphi$ в правую часть знак меняется на противоположный — так $\tilde u=tx^2$ остаётся точным решением).

Условия через тест $\tilde u=tx^2$ (в исходной задаче $u(0,x)=x^2$; для теста заменяем на $\tilde u(0,x)=0$):

$$u(0,x)=0;\qquad u(t,0)=0;\qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t,1)=2t,\quad u(t,1)=t.$$

Проверка: $\max|u_j^n-t^n x_j^2|\le\varepsilon\Rightarrow$ схема устойчива и пригодна для исходного уравнения.