|
Как правило, при математическом описании сложных химико-технологических систем
требуется учёт изменения во времени и/или пространстве ряда величин (концентраций реагентов, температуры,
давления и пр.). Поэтому математические модели химико-технологических процессов чаще всего состоят не из
одного дифференциального уравнения, а из системы дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.
При этом в уравнении, описывающем изменение одной из искомых функций системы, могут содержаться и другие
неизвестные функции, изменение которых описывается другими уравнениями той же системы. В качестве примера
следует привести хорошо известную зависимость скорости большинства химических реакций от температуры,
которая, в свою очередь, может существенно меняться за счёт теплового эффекта по ходу реакционного процесса.
В уравнениях, описывающих физико-химические процессы в гетерогенных средах, взаимосвязь величин,
характеризующих процесс, как правило, ещё более сложная. Математическая модель процесса массовой
кристаллизации из растворов - наглядное подтверждение сказанному.
Знание методов численного решения уравнений различного типа, позволяющее
определить значения искомой функции при определённых значениях независимых переменных, применимо и к
сложным системам уравнений. Однако для того чтобы решить какое-либо из уравнений системы, требуется знание
значений всех входящих в него параметров и функций, определяемых из других уравнений системы. Поэтому при
записи разностных схем для систем уравнений применяется принцип замороженных коэффициентов, позволяющий
использовать известные значения всех функций системы, полученные на предыдущем расчётном шаге (в случае
первого расчётного шага для определения значений функций системы используются начальные условия, задаваемые
при постановке задачи).
В качестве примера рассмотрим систему двух одномерных
дифференциальных уравнений параболического типа:
| |
 |
(15.1) |
В данной системе u и v - две различные функции двух независимых переменных (времени t и координаты х).
Видно, что свободный член первого уравнения системы содержит функцию v, определяемую с помощью второго
уравнения; а свободный член второго уравнения системы содержит функцию u, определяемую с помощью первого
уравнения. Неявная разностная схема для системы (15.1) будет иметь вид:
Видно, что при аппроксимации свободного члена в каждом из уравнений системы применён принцип
замороженных коэффициентов, позволяющий использовать известные значения одной искомой функции
для определения значений другой искомой функции. Такая разностная схема будет разрешима.
|
