|
2.2. Разностные схемы и рекуррентные соотношения.
Система уравнений (15.2)-(15.8), описывающих процесс массовой кристаллизации
из растворов в емкостном кристаллизаторе, включает два интегро-дифференциальных уравнения (15.2) и (15.3),
дифференциальное уравнение в частных производных 1-го порядка (15.4), а также два алгебраических уравнения
(15.5) и (15.8), начальные условия (15.6) и граничные условия (15.7). Рассмотрим метод численного решения
системы (15.2)-(15.8).
Методика составления разностных схем для уравнений (15.2) и (15.3) была подробно рассмотрена в разделе 14.3.1; разностные схемы для данных уравнений имеют вид:
| |
\(\displaystyle \frac{c^{n+1} - c^n}{\Delta t} = -\sum_{j=1}^{N_r} \rho_2^0 f_j^n \eta_j^n \Delta r,\) |
(15.9) |
| |
\(\displaystyle \left[ \rho_1^n C_{1T}^n + \rho_2^0 C_{2T} \sum_{j=1}^{N_r} f_j^n \, r_j \, \Delta r \right] \frac{T^{n+1} - T^n}{\Delta t} = \Delta H \sum_{j=1}^{N_r} \rho_2^0 f_j^n \eta_j^n \Delta r + K F (T^n - T_x),\) |
|
где n - порядковый номер точки деления по оси t, j - порядковый номер точки деления по оси r.
Рекуррентные соотношения для определения концентрации раствора и температуры имеют вид:
| |
\(\displaystyle c^{n+1} = c^n - \Delta t \sum_{j=1}^{N_r} \rho_2^0 f_j^n \eta_j^n \Delta r, \qquad T^{n+1} = T^n + \frac{\Delta H \sum_{j=1}^{N_r} \rho_2^0 f_j^n \eta_j^n \Delta r + K F (T^n - T_x)}{\rho_1^n C_{1T}^n + \rho_2^0 C_{2T} \sum_{j=1}^{N_r} f_j^n \, r_j \, \Delta r} \Delta t.\) |
|
Разностная схема для уравнения (15.4) записывается с учётом правила
выбора конечной разности для аппроксимации производной по r и принципа замороженных коэффициентов:
| |
\(\displaystyle \frac{f_j^{n+1} - f_j^n}{\Delta t} + \frac{f_j^{n+1} \eta_j^n - f_{j-1}^{n+1} \eta_{j-1}^n}{\Delta r} = 0.\) |
(15.10) |
Рекуррентное соотношение для определения функции плотности распределения кристаллов по размерам имеет вид:
| |
\(\displaystyle f_j^{n+1} = \frac{f_j^n + \frac{\Delta t}{\Delta r} f_{j-1}^{n+1} \eta_{j-1}^n}{1 + \frac{\Delta t}{\Delta r} \eta_j^n}.\) |
|
Уравнения (15.5)-(15.8) в разностном виде записываются следующим образом:
| |
\(\displaystyle c^0 = c_0, \qquad T^0 = T_0, \qquad f_j^0 = 0; \quad c_S^{n+1} = a + b T^{n+1}; \qquad \eta_j^{n+1} = k_2 \, S_j \, (c^{n+1} - c_S^{n+1})^m; \quad I^{n+1} = k_1 (c^{n+1} - c_S^{n+1})^p; \qquad f_1^{n+1} = I^{n+1} / \eta_1^{n+1}.\) |
|
|