Решение интегро-дифференциальных уравнений. Примеры численного решения интегро-дифференциальных уравнений. Решение уравнений математической модели процесса массовой кристаллизации.

Учебник · Глава 14

Решение интегро-дифференциальных уравнений.

3. Примеры численного решения интегро-дифференциальных уравнений.

3.1. Решение уравнений математической модели процесса массовой кристаллизации.

Рассмотрим методику численного решения интегро-дифференциальных уравнений из математической модели процесса массовой кристаллизации. Уравнение, описывающее баланс по концентрации кристаллизующегося компонента имеет вид:

(14.5)

где с - концентрация кристаллизующегося компонента;

- плотность кристалла;

- скорость роста кристалла;

- число кристаллов в единице объёма смеси с размером от r до r + dr; R - наибольший размер кристалла.
Уравнение (14.5) содержит одну производную, описывающую изменение концентрации кристаллизующегося компонента с во времени. Причём, функция с является функцией только одной независимой переменной (времени). В правой части уравнения (14.5) находится интеграл, содержащий функцию распределения включений по размерам f, значения которой зависят как от времени, так и от размера включений. То есть, функция f является функцией двух независимых переменных - t и r. Также в подынтегральное выражение входит функция скорости роста кристалла

, зависящая от размера кристалла и от величины пересыщения раствора (т.е., разности текущей и равновесной концентраций раствора), а, следовательно, являющаяся функцией двух независимых переменных - t и r.
     Таким образом, для записи разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (14.5), требуется ввести двумерную разностную сетку (по осям которой отложены независимые переменные - время t и размер кристаллов r), а также следующие обозначения:
        n = 0, 1, 2, ..., M - порядковый номер точки деления по оси t;
        k = 1, 2, 3, ..., Nr - порядковый номер точки деления по оси r;

- величина интервала между точками по оси t;

- величина интервала между точками по оси r;

- значение функции f, соответствующее точкам

.
Для аппроксимации производной по времени будем использовать, как и обычно, правую конечную разность:

Для аппроксимации интеграла будем использовать выражение (14.4). Причём, поскольку искомой функцией в уравнении (14.5) является функция с, то при аппроксимации функций f и

требуется использование принципа замороженных коэффициентов (иначе разностная схема не будет разрешима). Учитывая всё сказанное, запишем разностную схему для аппроксимации уравнения (14.5):

(14.6)

Разностная схема (14.6) является явной и решается с помощью рекуррентного соотношения:

Аналогично записывается разностная схема для уравнения, описывающего тепловой баланс:

(14.7)

где

- теплоёмкость, плотность и температура смеси в кристаллизаторе;

- тепловой эффект процесса; К - коэффициент теплопередачи; F - поверхность кристаллизатора; Т_х - температура хладагента.
Разностная схема (14.7) решается с помощью рекуррентного соотношения:

← 2. Методы численного вычисления интегралов 3.2. Решение уравнения, описывающего дробление включений →