Решение интегро-дифференциальных уравнений. Примеры численного решения интегро-дифференциальных уравнений. Решение уравнений математической модели процесса массовой кристаллизации.

Учебник · Глава 14

Решение интегро-дифференциальных уравнений.

3. Примеры численного решения интегро-дифференциальных уравнений.

3.1. Решение уравнений математической модели процесса массовой кристаллизации.

Рассмотрим методику численного решения интегро-дифференциальных уравнений из математической модели процесса массовой кристаллизации. Уравнение, описывающее баланс по концентрации кристаллизующегося компонента имеет вид:

\(\displaystyle \frac{dc}{dt} = -\int_0^R \rho_2^0 f \eta\, dr,\)

(14.5)

где с - концентрация кристаллизующегося компонента; \(\displaystyle \rho_2^0\) - плотность кристалла; \(\displaystyle \eta\) - скорость роста кристалла; \(\displaystyle f(r)\,dr\) - число кристаллов в единице объёма смеси с размером от r до r + dr; R - наибольший размер кристалла.
     Уравнение (14.5) содержит одну производную, описывающую изменение концентрации кристаллизующегося компонента с во времени. Причём, функция с является функцией только одной независимой переменной (времени). В правой части уравнения (14.5) находится интеграл, содержащий функцию распределения включений по размерам f, значения которой зависят как от времени, так и от размера включений. То есть, функция f является функцией двух независимых переменных - t и r. Также в подынтегральное выражение входит функция скорости роста кристалла η, зависящая от размера кристалла и от величины пересыщения раствора (т.е., разности текущей и равновесной концентраций раствора), а, следовательно, являющаяся функцией двух независимых переменных - t и r.
     Таким образом, для записи разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (14.5), требуется ввести двумерную разностную сетку (по осям которой отложены независимые переменные - время t и размер кристаллов r), а также следующие обозначения:
        n = 0, 1, 2, ..., M - порядковый номер точки деления по оси t;
        k = 1, 2, 3, ..., Nr - порядковый номер точки деления по оси r;
        \(\displaystyle t^{n+1} - t^n = \Delta t\) - величина интервала между точками по оси t;
        \(\displaystyle r_{k+1} - r_k = \Delta r\) - величина интервала между точками по оси r;
        \(\displaystyle f(t^n, r_k) = f_k^n\) - значение функции f, соответствующее точкам \(\displaystyle t^n, r_k\).
     Для аппроксимации производной по времени будем использовать, как и обычно, правую конечную разность:

\(\displaystyle \left.\frac{\partial c}{\partial t}\right|_{t^n} \quad \rightarrow \quad \frac{c^{n+1} - c^n}{\Delta t}.\)

Для аппроксимации интеграла будем использовать выражение (14.4). Причём, поскольку искомой функцией в уравнении (14.5) является функция с, то при аппроксимации функций f и η требуется использование принципа замороженных коэффициентов (иначе разностная схема не будет разрешима). Учитывая всё сказанное, запишем разностную схему для аппроксимации уравнения (14.5):

\(\displaystyle \frac{c^{n+1} - c^n}{\Delta t} = -\sum_{k=1}^{N_r} \rho_2^0 f_k^n \eta_k^n \Delta r.\)

(14.6)

Разностная схема (14.6) является явной и решается с помощью рекуррентного соотношения:

\(\displaystyle c^{n+1} = c^{n} - \Delta t \sum_{k=1}^{N_r} \rho_2^0 f_k^n \eta_k^n \Delta r.\)

Аналогично записывается разностная схема для уравнения, описывающего тепловой баланс:

\(\displaystyle \rho C_T \frac{dT}{dt} = \Delta H \int_0^R \rho_2^0 f \eta \, dr + K F (T - T_x),\)

\(\displaystyle \rho^n C_T^n \frac{T^{n+1} - T^n}{\Delta t} = \Delta H \sum_{k=1}^{N_r} \rho_2^0 f_k^n \eta_k^n \Delta r + K F (T^n - T_x),\)

(14.7)

где \(\displaystyle C_T, \rho, T\) - теплоёмкость, плотность и температура смеси в кристаллизаторе; \(\displaystyle \Delta H\) - тепловой эффект процесса; К - коэффициент теплопередачи; F - поверхность кристаллизатора; Т_х - температура хладагента.
Разностная схема (14.7) решается с помощью рекуррентного соотношения:

\(\displaystyle T^{n+1} = T^n + \frac{\Delta t}{\rho^n C_T^n} \left( \Delta H \sum_{k=1}^{N_r} \rho_2^0 f_k^n \eta_k^n \Delta r + K F (T^n - T_x) \right).\)

← 2. Методы численного вычисления интегралов 3.2. Решение уравнения, описывающего дробление включений →