|
Математические модели некоторых физико-химических процессов помимо дифференциальных
уравнений содержат ещё и интегро-дифференциальные уравнения. Примером может служить математическая модель процесса
массовой кристаллизации из растворов:
| |
\(\displaystyle \frac{dc}{dt} = -\int\limits_0^R \rho_2^0\, f\, \eta\, dr, \qquad \rho\, C_T\, \frac{dT}{dt} = \Delta H \int\limits_0^R \rho_2^0\, f\, \eta\, dr + K\, F\, (T - T_x), \qquad \frac{\partial f}{\partial t} + \eta\, \frac{\partial f}{dr} = 0,\) |
|
где с - концентрация кристаллизующегося компонента;
\(\displaystyle \rho_2^0\) - плотность кристалла;
\(\displaystyle \eta\) - скорость роста кристалла;
\(\displaystyle f(r)\, dr\) - число кристаллов в единице объёма смеси с размером от r до r + dr;
R - наибольший размер кристалла;
\(\displaystyle C_T\,, \rho, T\) - теплоёмкость, плотность и температура смеси в кристаллизаторе;
\(\displaystyle \Delta\)H - тепловой эффект процесса;
К - коэффициент теплопередачи;
F - поверхность кристаллизатора;
Тх - температура хладагента.
Первые два уравнения системы (концентрационный и тепловой балансы)
являются интегро-дифференциальными уравнениями, а третье (уравнение баланса числа частиц) - дифференциальным
уравнением в частных производных 1-го порядка.
Для этой системы требуются следующие начальные и граничные условия:
| |
\(\displaystyle c\,(t = 0) = c^{0}, \qquad T(t = 0) = T^{0}, \qquad f(t = 0,\ r) = f^{0}(r), \qquad f(t,\ r = r_0) = \varphi(t),\) |
|
где r0 - размер зародыша.
|