|
Для того, чтобы правильно выбрать метод численного решения дифференциального
уравнения, сначала необходимо определить, к какому типу оно относится. Принадлежность дифференциальных уравнений
к тому или иному типу обычно определяют по двум критериям: наибольшему порядку производной и количеству
независимых переменных (см. таблицу).
| по количеству независимых переменных |
по наибольшему порядку производной |
| 1-го порядка | 2-го порядка |
| обыкновенные дифференциальные уравнения (искомая функция зависит от одной переменной - времени или координаты) |
\(\displaystyle u = f(t)\) |
\(\displaystyle \frac{du}{dt} = f(t, u)\) | |
| \(\displaystyle u = f(x)\) |
\(\displaystyle \frac{du}{dx} = f(x, u)\) | \(\displaystyle \frac{d^2 u}{dx^2} = f(x,\, u,\, u'_x)\) |
| дифференциальные уравнения в частных производных (искомая функция может зависеть от двух и более переменных) |
\(\displaystyle u = f(t,\ x)\) |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + a\, \frac{\partial u}{\partial x} = f(t,\ x, u)\) | \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(t,\, x,\, u,\, u')\) |
| \(\displaystyle u = f(x,\ y)\) |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + a\, \frac{\partial u}{\partial y} = f(x,\, y,\, u)\) | \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,\, y,\, u,\, u'_x,\, u'_y)\) |
| \(\displaystyle u = f(t, x, y, z)\) |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + a_x\, \frac{\partial u}{\partial x} + a_y\, \frac{\partial u}{\partial y} + a_z\, \frac{\partial u}{\partial z} = f(t,\, x,\, y,\, z,\, u)\) | \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \sigma_z\, \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + f(t,\, x,\, y,\, z,\, u,\, u'_x,\, u'_y,\, u'_z)\) |
|
При составлении таблицы были использованы обозначения, которые также будут
применяться далее в ходе всего курса: u - искомая функция (концентрация, температура и т.д.);
t - время (независимая переменная);
x, y, z - пространственные координаты (независимые переменные);
\(\displaystyle u'_i\) - частная производная функции u по i-й независимой переменной; а, σ - константы.
Если функция u зависит от одной пространственной координаты,
то соответствующее дифференциальное уравнение называют одномерным, если от двух - двумерным, если от
трёх - трёхмерным. Двумерные и трёхмерные дифференциальные уравнения также называют многомерными.
|