|
Рассмотрим еще несколько примеров математических моделей химических реакторов,
в которых протекает простая необратимая реакция типа
| |
\(\displaystyle n\, \mathrm{X} \;\rightarrow\; \mathrm{P}\,.\) |
|
4. Математическая модель (баланс по концентрации компонента Х) трубчатого реактора в нестационарном режиме имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial c}{\partial t} + v\, \frac{\partial c}{\partial x} = -w,\) |
|
причём концентрация компонента Х является функцией двух переменных:
| |
\(\displaystyle c = c\,(t,\ x).\) |
|
Данное уравнение необходимо дополнить начальным и граничным условиями:
| |
\(\displaystyle c\,(t = 0,\ x) = c^{0}(x), \qquad c\,(t,\ x = 0) = \varphi(t).\) |
|
5. Математическая модель трубчатого реактора с продольным перемешиванием в нестационарном режиме имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial c}{\partial t} + v\, \frac{\partial c}{\partial x} = D_L\, \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - w,\) |
|
причём концентрация компонента Х является функцией двух переменных:
| |
\(\displaystyle c = c\,(t,\ x).\) |
|
Определим тип данного уравнения с помощью выражения (1.1):
| |
\(\displaystyle a_{11} = D_L, \quad a_{22} = 0, \quad a_{12} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad D = 0 - D_L \cdot 0 = 0.\) |
|
Следовательно, данное уравнение является уравнением параболического типа. Его необходимо дополнить начальным и
двумя граничными условиями:
| |
\(\displaystyle c\,(t = 0,\ x) = c^{0}(x), \quad c\,(t,\ x = 0) = \varphi_1\,(t), \quad c\,(t,\ x = l) = \varphi_2\,(t).\) |
|
6. Математическая модель трубчатого реактора с продольным и поперечным
перемешиванием в нестационарном режиме имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial c}{\partial t} + v\, \frac{\partial c}{\partial x} = D_L\, \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + D_R\, \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} + \frac{D_R}{r}\, \frac{\partial c}{\partial r} - w,\) |
|
где r - координата по радиусу реактора; DL ,
DR - коэффициенты диффузии в продольном и поперечном направлениях.
Данное уравнение является многомерным, поскольку концентрация компонента
Х - функция трёх переменных:
| |
\(\displaystyle c = c\,(t,\ x,\ r).\) |
|
Так как отсутствует производная 2-го порядка по времени, данное уравнение является уравнением параболического типа.
Его необходимо дополнить начальным и граничными условиями:
| |
\(\displaystyle c\,(t = 0,\ x,\ r) = c^{0}(x,\ r) \qquad \begin{cases} c\,(t,\ x = 0,\ r) = \varphi_1(t,\ r) \\ c\,(t,\ x = l, r) = \varphi_2\,(t,\ r) \end{cases} \qquad \begin{cases} c(t,\ x,\ r = 0) = \Psi_1\,(t,\ x) \\ c(t,\ x,\ r = R) = \Psi_2\,(t,\ x) \end{cases}\) |
|
Здесь R - радиус реактора.
7. Математическая модель трубчатого реактора с продольным и поперечным
перемешиванием в стационарном режиме имеет вид:
| |
\(\displaystyle v\, \frac{\partial c}{\partial x} = D_L\, \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + D_R\, \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} + \frac{D_R}{r}\, \frac{\partial c}{\partial r} - w.\) |
|
Концентрация компонента Х в данном случае - функция двух переменных:
| |
\(\displaystyle c = c\,(x,\ r).\) |
|
Определим тип данного уравнения с помощью выражения (1.1):
| |
\(\displaystyle a_{11} = D_L, \quad a_{22} = D_R, \quad a_{12} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad D = 0 - D_L \cdot D_R \; < 0.\) |
|
Следовательно, данное уравнение является уравнением эллиптического типа. Его необходимо дополнить граничными условиями:
| |
\(\displaystyle \begin{cases} c\,(t,\ x = 0,\ r) = \varphi_1(t,\ r) \\ c\,(t,\ x = l,\ r) = \varphi_2\,(t,\ r) \end{cases} \qquad \begin{cases} c\,(t,\ x,\ r = 0) = \Psi_1(t,\ x) \\ c\,(t,\ x,\ r = R) = \Psi_2\,(t,\ x) \end{cases}\) |
|
|