|
Рассмотрим примеры математических моделей химических реакторов, в которых протекает простая необратимая реакция типа
| |
\(\displaystyle n\, \mathrm{X} \;\rightarrow\; \mathrm{P}\,.\) |
|
Скорость такой реакции определяется по формуле:
| |
\(\displaystyle w = k c^{n},\) |
|
где k - константа скорости химической реакции; с - концентрация вещества Х.
1. Математическая модель проточного реактора идеального смешения включает балансы по концентрации
компонента Х и температуре:
| |
\(\displaystyle V \frac{dc}{dt} = \upsilon_q\, (c_0 - c) - w\, V, \qquad V \rho C_T\, \frac{dT}{dt} = \upsilon_q\, (\rho_0\, C_{T0}\, T_0 - \rho\, C_T\, T) + \Delta H\, w V,\) |
|
где \(\displaystyle \upsilon_q\) - объёмный расход поступающего раствора;
\(\displaystyle \Delta\)H - тепловой эффект реакции;
V - рабочий объём реактора;
\(\displaystyle C_T,\ \rho,\ T\) - теплоёмкость, плотность и температура смеси в реакторе;
индекс (0) означает значение параметра на входе в реактор.
Таким образом, математическая модель состоит из двух обыкновенных
дифференциальных уравнений 1-го порядка, которые необходимо дополнить начальными условиями (задача Коши):
| |
\(\displaystyle c(t = 0) = c^{0}, \qquad T(t = 0) = T^{0}.\) |
|
2. Математическая модель трубчатого реактора (идеального вытеснения)
в стационарном режиме имеет вид:
| |
\(\displaystyle v\, \frac{dc}{dx} = -w, \qquad v \rho\, C_T\, \frac{dT}{dx} = \Delta H\, w,\) |
|
где v - линейная скорость потока; х - координата по длине реактора.
Данная математическая модель также состоит из двух обыкновенных
дифференциальных уравнений 1-го порядка, которые необходимо дополнить граничными условиями:
| |
\(\displaystyle c(x = 0) = c_0\,, \qquad T(x = 0) = T_0\,.\) |
|
3. Математическая модель трубчатого реактора с продольным перемешиванием в стационарном режиме имеет вид:
| |
\(\displaystyle \upsilon\, \frac{dc}{dx} = D_L\, \frac{d^2 c}{dx^2} - w, \qquad \upsilon\, \rho\, C_T\, \frac{dT}{dx} = \lambda\, \frac{d^2 T}{dx^2} + \Delta H\, w,\) |
|
где DL , \(\displaystyle \lambda\) - коэффициенты диффузии и теплопроводности.
Данная математическая модель состоит из двух обыкновенных дифференциальных
уравнений 2-го порядка, которые необходимо дополнить граничными условиями:
| |
\(\displaystyle \begin{cases} c\,(x = 0) = c_0 \\ c\,(x = l) = c_l \end{cases} \qquad \begin{cases} T(x = 0) = T_0 \\ T(x = l) = T_l \end{cases}\) |
|
Здесь l - длина реактора.
|