|
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка не имеют единого метода
численного решения. Поэтому следует рассмотреть их классификацию, позволяющую использовать единые методы для
численного решения каждого из подтипов этих уравнений.
Общий вид дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных при
условии, что искомая функция зависит от двух переменных, можно представить следующим образом:
| |
\(\displaystyle a_{11}\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2 a_{12}\, \frac{\partial^2 u}{\partial x\, \partial y} + a_{22}\, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,\, y,\, u,\, u'_x,\, u'_y).\) |
|
В зависимости от знака величины
| |
\(\displaystyle D = a_{12}^{2} - a_{11} a_{22}\) |
(1.1) |
дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка относят к уравнениям:
| |
при D > 0 - гиперболического типа,
при D < 0 - эллиптического типа,
при D = 0 - параболического типа.
| |
Принадлежность многомерных дифференциальных уравнений в частных производных
2-го порядка к тому или иному типу определяют, руководствуясь следующими правилами.
1. Если в уравнении присутствуют производные 2-го порядка по всем независимым
переменным и знаки перед ними одинаковые - то данное уравнение относят к уравнениям эллиптического типа, например:
| |
\(\displaystyle \sigma_x\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \sigma_z\, \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = f(t,\, x,\, y,\, z,\, u,\, u'_x,\, u'_y,\, u'_z).\) |
|
2. Если в уравнении отсутствует производная 2-го порядка хотя бы по одной из
независимых переменных - то данное уравнение относят к уравнениям параболического типа, например:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma_x\, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sigma_y\, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \sigma_z\, \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + f(t,\, x,\, y,\, z,\, u,\, u'_x,\, u'_y,\, u'_z).\) |
|
|