|
3.2. Решение уравнения, описывающего дробление включений.
Рассмотрим методику численного решения интегро-дифференциального уравнения (14.1),
описывающего процесс дробления включений. В левой части данного уравнения находятся две производные,
описывающие изменение функции распределения включений по размерам f во времени и пространстве;
правая часть, содержащая интеграл, характеризует изменение функции f за счёт процесса дробления включений.
Таким образом, в данном случае функция f является функцией трёх независимых переменных - t, x и r.
Также в правой части уравнения (14.1) имеются две вероятностные функции A и В,
значения которых зависят от размера включений.
Таким образом, для записи разностной схемы, аппроксимирующей уравнение
(14.1), требуется ввести трёхмерную разностную сетку (по осям которой отложены независимые переменные -
время t, координата по длине реактора x и размер включений r), а также следующие обозначения:
| |
 |
(14.8) |
Для аппроксимации производной по времени будем использовать, как и обычно,
правую конечную разность. Выбор конечной разности для аппроксимации производной по координате
определяется (согласно известному правилу) знаком величины v, характеризующей скорость перемещения включений:
если направление оси x совпадает с направлением перемещения включений,
то величина v будет положительна и для аппроксимации производной по координате необходимо
использовать левую конечную разность; если направление оси x противоположно направлению
перемещения включений, то величина v будет отрицательна и для аппроксимации производной
по координате необходимо использовать правую конечную разность. Для аппроксимации интеграла
будем использовать выражение (14.4) и принцип замороженных коэффициентов. Учитывая всё сказанное,
запишем схему расщепления, аппроксимирующую уравнение (14.1) для случая v > 0:
| |
\(\displaystyle \frac{f_{j,k}^{n+1/2} - f_{j,k}^{n}}{\Delta t} + v \frac{f_{j,k}^{n+1/2} - f_{j-1,k}^{n+1/2}}{h} = 0; \qquad \frac{f_{j,k}^{n+1} - f_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = -f_{j,k}^{n+1} A_k + \sum_{i=k}^{N_r} A_i \, B_{i,k} \, f_{j,i}^{n+1/2} \, \Delta r.\) |
(14.9) |
Первая подсхема схемы расщепления (14.9) аппроксимирует производную по координате и является
неявной по переменной x; вторая подсхема аппроксимирует правую часть уравнения (14.1).
Схема (14.9) имеет первый порядок аппроксимации по каждой из независимых переменных:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t, h, \Delta r).\) |
|
Каждая из подсхем, составляющих схему (14.9), является абсолютно устойчивой и решается с помощью
соответствующего рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle f_{j,k}^{n+1/2} = \frac{f_{j,k}^{n} + v \frac{\Delta t}{h} f_{j-1,k}^{n+1/2}}{1 + v \frac{\Delta t}{h}}; \qquad f_{j,k}^{n+1} = \frac{f_{j,k}^{n+1/2} + \Delta t \sum_{i=k}^{N_r} A_i \, B_{i,k} \, f_{j,i}^{n+1/2} \, \Delta r}{1 + \Delta t \, A_k}.\) |
|
|