|
3.2. Решение уравнения, описывающего дробление включений.
Рассмотрим методику численного решения интегро-дифференциального уравнения (14.1),
описывающего процесс дробления включений. В левой части данного уравнения находятся две производные,
описывающие изменение функции распределения включений по размерам f во времени и пространстве;
правая часть, содержащая интеграл, характеризует изменение функции f за счёт процесса дробления включений.
Таким образом, в данном случае функция f является функцией трёх независимых переменных - t, x и r.
Также в правой части уравнения (14.1) имеются две вероятностные функции A и В,
значения которых зависят от размера включений.
Таким образом, для записи разностной схемы, аппроксимирующей уравнение
(14.1), требуется ввести трёхмерную разностную сетку (по осям которой отложены независимые переменные -
время t, координата по длине реактора x и размер включений r), а также следующие обозначения:
| |
 |
(14.8) |
Для аппроксимации производной по времени будем использовать, как и обычно,
правую конечную разность. Выбор конечной разности для аппроксимации производной по координате
определяется (согласно известному правилу) знаком величины v, характеризующей скорость перемещения включений:
если направление оси x совпадает с направлением перемещения включений,
то величина v будет положительна и для аппроксимации производной по координате необходимо
использовать левую конечную разность; если направление оси x противоположно направлению
перемещения включений, то величина v будет отрицательна и для аппроксимации производной
по координате необходимо использовать правую конечную разность. Для аппроксимации интеграла
будем использовать выражение (14.4) и принцип замороженных коэффициентов. Учитывая всё сказанное,
запишем схему расщепления, аппроксимирующую уравнение (14.1) для случая v > 0:
| |
 |
(14.9) |
Первая подсхема схемы расщепления (14.9) аппроксимирует производную по координате и является
неявной по переменной x; вторая подсхема аппроксимирует правую часть уравнения (14.1).
Схема (14.9) имеет первый порядок аппроксимации по каждой из независимых переменных:
Каждая из подсхем, составляющих схему (14.9), является абсолютно устойчивой и решается с помощью
соответствующего рекуррентного соотношения:
|
