|
1.2. Правило записи неявных разностных схем.
Чтобы записать неявную разностную схему для уравнения (13.1),
необходимо определиться на каком шаге по времени следует стабилизировать значение функции \(\displaystyle \sigma(t, x)\).
Как правило, для этого выбирают n-й шаг по времени. Во всех методах численного решения n-й шаг по
времени считается известным для всех искомых функций, и, следовательно, как бы ни была задана функция \(\displaystyle \sigma(t, x)\),
при определении значений функции u на (n + 1)-ом шаге по времени уже будут известны численные значения \(\displaystyle \sigma(t, x)\)
в каждой точке \(\displaystyle (t^n, x_j)\) разностной сетки. Таким образом, неявная разностная схема для уравнения (13.1)
записывается в следующем виде:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma(t^n, x_j) \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + f(t^n, x_j).\) |
(13.5) |
Данный подход, заключающийся в стабилизации коэффициентов, являющихся функцией времени, на последнем рассчитанном шаге,
называют принципом замороженных коэффициентов.
Разностная схема (13.5) является абсолютно устойчивой и решается
с помощью метода прогонки. Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle a_j = c_j = -\sigma(t^n, x_j) \frac{\Delta t}{h^2}, \qquad b_j = 1 + 2\sigma(t^n, x_j) \frac{\Delta t}{h^2}, \qquad \xi_j^n = u_j^n + \Delta t\, f(t^n, x_j).\) |
|
Легко видеть, что зависимость коэффициента σ от переменных t и x
не оказывает влияния на сходимость прогонки.
Рассмотрим теперь двумерное дифференциальное уравнение
параболического типа, в котором коэффициент σ
зависит от переменных t, x и y:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma(t, x, y) \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) + f(t, x, y); \qquad \forall t, x, y: \quad \sigma(t, x, y) \ge 0.\) |
(13.6) |
Схема расщепления для уравнения (13.6) будет иметь вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = \sigma(t^n, x_j, y_k)\, \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + f(t^n, x_j, y_k), \\ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \sigma(t^{n+1/2}, x_j, y_k)\, \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1}.\) |
|
Отметим, что согласно принципу замороженных коэффициентов функция \(\displaystyle \sigma(t, x, y)\)
аппроксимируется в первой подсхеме на n-ом шаге по времени, а во второй - на шаге по времени (n + 1/2).
Схема переменных направлений для уравнения (13.6) будет иметь вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = \frac{\sigma(t^{n+1/2}, x_j, y_k)}{2} \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \frac{\sigma(t^{n+1/2}, x_j, y_k)}{2} \lambda_{yy} u_{j,k}^n, \\ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \frac{\sigma(t^{n+1/2}, x_j, y_k)}{2} \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \frac{\sigma(t^{n+1/2}, x_j, y_k)}{2} \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1} + f(t^{n+1/2}, x_j, y_k).\) |
|
В данном случае функция \(\displaystyle \sigma(t, x, y)\) аппроксимируется в обеих подсхемах
на шаге по времени (n + 1/2) для того, чтобы сохранить второй порядок аппроксимации схемы по времени.
Схема предиктор-корректор для уравнения (13.6) будет иметь вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^n}{\Delta t / 2} = \sigma(t^n, x_j, y_k)\, \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/4}, \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t / 2} = \sigma(t^{n+1/4}, x_j, y_k)\, \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1/2}; \\ \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = \sigma(t^{n+1/2}, x_j, y_k) \left[ \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1/2} \right] + f(t^{n+1/2}, x_j, y_k).\) |
|
Согласно принципу замороженных коэффициентов функция \(\displaystyle \sigma(t, x, y)\) аппроксимируется в первой подсхеме на n-ом
шаге по времени, во второй - на шаге по времени (n + 1/4); вся правая часть третьей подсхемы (корректора)
аппроксимируется на шаге по времени (n + 1/2) для достижения второго порядка аппроксимации схемы по времени.
|