Принцип замороженных коэффициентов. Уравнения с непостоянными коэффициентами при производных. Правило записи неявных разностных схем.

Учебник · Глава 13

Принцип замороженных коэффициентов.

1. Уравнения с непостоянными коэффициентами при производных.

1.2. Правило записи неявных разностных схем.

Чтобы записать неявную разностную схему для уравнения (13.1), необходимо определиться на каком шаге по времени следует стабилизировать значение функции . Как правило, для этого выбирают n-й шаг по времени. Во всех методах численного решения n-й шаг по времени считается известным для всех искомых функций, и, следовательно, как бы ни была задана функция , при определении значений функции u на (n + 1)-ом шаге по времени уже будут известны численные значения в каждой точке разностной сетки. Таким образом, неявная разностная схема для уравнения (13.1) записывается в следующем виде:

(13.5)

Данный подход, заключающийся в стабилизации коэффициентов, являющихся функцией времени, на последнем рассчитанном шаге, называют принципом замороженных коэффициентов.
Разностная схема (13.5) является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки. Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

Легко видеть, что зависимость коэффициента

от переменных t и x не оказывает влияния на сходимость прогонки.

Рассмотрим теперь двумерное дифференциальное уравнение параболического типа, в котором коэффициент

зависит от переменных t, x и y:

(13.6)

Схема расщепления для уравнения (13.6) будет иметь вид:

Отметим, что согласно принципу замороженных коэффициентов функция

аппроксимируется в первой подсхеме на n-ом шаге по времени, а во второй - на шаге по времени (n + 1/2).
Схема переменных направлений для уравнения (13.6) будет иметь вид:

В данном случае функция

аппроксимируется в обеих подсхемах на шаге по времени (n + 1/2) для того, чтобы сохранить второй порядок аппроксимации схемы по времени.
Схема предиктор-корректор для уравнения (13.6) будет иметь вид:

Согласно принципу замороженных коэффициентов функция

аппроксимируется в первой подсхеме на n-ом шаге по времени, во второй - на шаге по времени (n + 1/4); вся правая часть третьей подсхемы (корректора) аппроксимируется на шаге по времени (n + 1/2) для достижения второго порядка аппроксимации схемы по времени.

← 1.1. Исследование устойчивости явных разностных схем 2. Уравнения с нелинейным свободным членом →