Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Схема предиктор-корректор. Характеристика подсхем.

Учебник · Глава 7

Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа.

9. Схема предиктор-корректор.

9.2. Характеристика подсхем.

Каждая из подсхем, составляющих предиктор (7.15), (7.16), является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки. Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

для первой подсхемы предиктора (7.15)

\(\displaystyle a_j = c_j = -\frac{\sigma}{2} \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad b_j = 1 + \sigma \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad \xi_{j,k}^{n} = u_{j,k}^{n};\)

для второй подсхемы предиктора (7.16)

\(\displaystyle \widetilde{a}_k = \widetilde{c}_k = -\frac{\sigma}{2} \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{b}_k = 1 + \sigma \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{\xi}_{j,k}^{\,n+1/4} = u_{j,k}^{n+1/4}.\)

Легко видеть, что для обеих подсхем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.

Правая часть корректора (7.17) аппроксимируется относительно точки \(\displaystyle t^{n+1/2}\). Это означает, что разностный оператор в левой части является центральной конечной разностью, которая, как известно, имеет второй порядок аппроксимации. Следовательно, роль корректора (7.17) в схеме предиктор-корректор (7.15)-(7.17) заключается в повышении порядка аппроксимации схемы по времени:

\(\displaystyle O(\Delta t^2,\, h_x^2,\, h_y^2),\)

что делает её более точной по сравнению со схемой расщепления (7.7), (7.8).
Для решения корректора (7.17) используется рекуррентное соотношение, которое с учётом обозначений (7.6) имеет вид:

\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + \sigma \Delta t\, \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \sigma \Delta t\, \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1/2} - k\,\Delta t\, u_{j,k}^{n+1/2} + \Delta t\, f_{j,k}^{n+1/2}.\)

(7.18)

Итак, роль предиктора (7.15), (7.16) в схеме предиктор-корректор (7.15)-(7.17) заключается в обеспечении абсолютной устойчивости всей схемы; роль корректора (7.17) - в повышении порядка аппроксимации схемы по времени.

← 9.1. Методика записи уравнений схемы 9.3. Алгоритм решения →