Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Примеры двумерных дифференциальных уравнений параболического типа.

Учебник · Глава 7

Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа.

1. Примеры двумерных дифференциальных уравнений параболического типа.

В разделе "Примеры математических моделей, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных" мы рассматривали математическую модель трубчатого реактора с продольным и поперечным перемешиванием, в котором протекает простая необратимая реакция. Баланс по концентрации исходного реагента для нестационарного режима имеет вид:

\(\displaystyle \frac{\partial c}{\partial t} + v \frac{\partial c}{\partial x} = D_L \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + D_R \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} + \frac{D_R}{r} \frac{\partial c}{\partial r} - k c,\)

где k - константа скорости химической реакции; с - концентрация исходного реагента; v - линейная скорость потока; х - координата по длине реактора; r - координата по радиусу реактора; D_L , D_R - коэффициенты диффузии в продольном и поперечном направлениях.
Данное уравнение является двумерным дифференциальным уравнением параболического типа. Его двухмерность обусловлена тем, что концентрация компонента Х - функция трёх переменных, две из которых являются пространственными координатами:

\(\displaystyle c = c\,(t,\, x,\, r).\)

Другим примером двумерного дифференциального уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности для нестационарного двумерного температурного поля:

\(\displaystyle \rho C_T \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right) + q,\)

где Т - температура; \(\displaystyle C_T,\, \rho,\, \lambda\) - теплоёмкость, плотность и теплопроводность материала; x, y - пространственные координаты; q - внутренний источник (сток) теплоты.
Уравнение вихря скорости, являющееся преобразованием уравнения Навье-Стокса, - ещё один пример двумерного дифференциального уравнения параболического типа:

\(\displaystyle \frac{\partial \xi}{\partial t} + v^{x} \frac{\partial \xi}{\partial x} + v^{y} \frac{\partial \xi}{\partial y} = \gamma \left( \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \xi}{\partial y^2} \right).\)

Очевидно, в математических моделях физико-химических и химико-технологических процессов встречаются не только одномерные, но и двумерные дифференциальные уравнения, для численного решения которых требуется особый подход. В настоящей главе рассмотрим двумерные дифференциальные уравнения параболического типа, не содержащие производных по координатам первого порядка. Следующая глава будет посвящена двумерным дифференциальным уравнениям в частных производных 1-го порядка и двумерным дифференциальным уравнениям параболического типа, содержащим первые производные по координатам.

← 6. Сравнительная характеристика изученных разностных схем 2. Разностная сетка для двумерных задач →