|
Ещё одним способом интерпретации неявной разностной схемы (7.3),
аппроксимирующей двумерное дифференциальное уравнение параболического типа (7.1), является
схема со стабилизирующей поправкой, рекомендуемая для использования в случае, если существует особенность
поведения (например, осцилляции) искомой функции u в одном из пространственных направлений
(в данном случае по координате y):
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + \sigma \frac{u_{j,k+1}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j,k-1}^{n}}{h_y^2} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^{n},\) |
|
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j,k+1}^{n+1} - 2u_{j,k}^{n+1} + u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2} - \sigma \frac{u_{j,k+1}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j,k-1}^{n}}{h_y^2}.\) |
(7.14) |
Первая подсхема в схеме со стабилизирующей поправкой (7.14) аппроксимируется на первом полушаге интервала \(\displaystyle \Delta t\)
и является неявной по координате x и явной по координате y. Вторая подсхема
аппроксимируется на втором полушаге интервала \(\displaystyle \Delta t\), является неявной по координате y и учитывает
поправку по этой координате. Каждая из подсхем (как и в случае схемы расщепления (7.7), (7.8))
является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки.
Складывая обе подсхемы и принимая во внимание обозначения (7.6), получаем:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^{n}.\) |
|
Данное соотношение показывает, что схема со стабилизирующей поправкой (7.14) имеет, как и неявная
разностная схема (7.3), первый порядок аппроксимации по времени и второй - по каждой из координат:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t,\, h_x^2,\, h_y^2).\) |
|
Алгоритм решения схемы со стабилизирующей поправкой (7.14)
аналогичен алгоритму решения схемы расщепления
(7.7), (7.8). Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
для первой подсхемы
| |
\(\displaystyle a_j = c_j = -\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad b_j = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} + k\,\Delta t, \qquad \xi_{j,k}^{n} = u_{j,k}^{n} + \sigma \Delta t\, \lambda_{yy} u_{j,k}^{n} + \Delta t\, f_{j,k}^{n};\) |
|
для второй подсхемы
| |
\(\displaystyle \widetilde{a}_k = \widetilde{c}_k = -\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{b}_k = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{\xi}_{j,k}^{\,n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/2} - \sigma \Delta t\, \lambda_{yy} u_{j,k}^{n}.\) |
|
Легко видеть, что для обеих подсхем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.
|