|
6.2. Характеристика второй подсхемы.
Вторая подсхема (7.8) схемы расщепления, являясь аналогом неявной
разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения параболического типа,
обладает всеми свойствами последней: она абсолютно устойчива, решается с помощью метода прогонки.
Приведём подсхему (7.8) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:
| |
\(\displaystyle -\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} u_{j,k+1}^{n+1} + \left( 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} \right) u_{j,k}^{n+1} - \sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} u_{j,k-1}^{n+1} = u_{j,k}^{n+1/2}.\) |
|
Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle \widetilde{a}_k = \widetilde{c}_k = -\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{b}_k = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{\xi}_{j,k}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/2}.\) |
|
Легко видеть, что для второй подсхемы (7.8) схемы расщепления достаточное условие
сходимости прогонки (4.16) выполняется:
| |
\(\displaystyle \left| \widetilde{a}_k \right| + \left| \widetilde{c}_k \right| = 2\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} < 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} = \left| \widetilde{b}_k \right|.\) |
|
Рекуррентное прогоночное соотношение для второй подсхемы (7.8) имеет вид:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1} = \widetilde{\alpha}_k u_{j,k+1}^{n+1} + \widetilde{\beta}_k.\) |
(7.11) |
Прогоночные коэффициенты определяются согласно соотношениям (4.13):
| |
\(\displaystyle \widetilde{\alpha}_k = -\frac{\widetilde{a}_k}{\widetilde{b}_k + \widetilde{c}_k \widetilde{\alpha}_{k-1}}, \qquad \widetilde{\beta}_k = \frac{\widetilde{\xi}_{j,k}^{n+1/2} - \widetilde{c}_k \widetilde{\beta}_{k-1}}{\widetilde{b}_k + \widetilde{c}_k \widetilde{\alpha}_{k-1}}.\) |
(7.12) |
Для определения значений прогоночных коэффициентов на 1-м шаге, т.е. \(\displaystyle \widetilde{\alpha}_1,\, \widetilde{\beta}_1\),
и решения на правой границе используются граничные условия по координате y.
Методики определения, а также последовательность вычислений (метод прогонки) аналогичны описанным ранее. Отличие состоит лишь в том,
что соотношения (7.11) и (7.12) включают переменную j, поэтому необходимо задать внешний цикл
по этой переменной:
| |
\(\displaystyle j = 2, \ldots, N_x - 1;\) |
|
следовательно, при решении второй подсхемы (7.8) (т.е. на втором полушаге интервала \(\displaystyle \Delta t\)) метод прогонки
будет использован \(\displaystyle N_x - 2\) раза.
Результатом решения второй подсхемы (7.8)
схемы расщепления являются значения функции u на (n + 1)-ом шаге по времени.
|