|
2.4. Определение решения на правой границе
Итак, используя левое граничное условие и
соотношения (4.13), можно определить
значения прогоночных коэффициентов на любом шаге по координате х.
Однако рекуррентное прогоночное соотношение (4.11) позволит рассчитать значение
функции u в точке \(\displaystyle u_j^{n+1}\), только если будет известно значение функции u
в точке \(\displaystyle u_{j+1}^{n+1}\), т.е. в соседней справа точке на разностной сетке. Следовательно, необходимо знать
значение функции u на (n + 1)-ом шаге по времени в крайней
справа точке, которое можно определить из правого граничного условия (4.7):
| |
\(\displaystyle u_N^{n+1} = \varphi_2(t^{n+1}).\) |
|
Однако вместо граничных условий 1-го рода (4.5) могут
быть заданы граничные условия 2-го или 3-го рода. Для расчёта решения на правой границе
в этом случае используют рекуррентное прогоночное соотношение (4.11), записанное
для j = N - 1:
| |
\(\displaystyle u_{N-1}^{n+1} = \alpha_{N-1} u_N^{n+1} + \beta_{N-1}.\) |
(4.15) |
Пусть задано правое граничное условие 2-го рода:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(t,\, x = b) = \varphi_2(t).\) |
|
Запишем его аппроксимацию:
| |
\(\displaystyle \frac{u_N^{n+1} - u_{N-1}^{n+1}}{h} = \varphi_2(t^{n+1}).\) |
|
Подставляя соотношение (4.15) в данное равенство и выражая \(\displaystyle u_N^{n+1}\), получаем:
| |
\(\displaystyle u_N^{n+1} = \frac{h\,\varphi_2(t^{n+1}) + \beta_{N-1}}{1 - \alpha_{N-1}}.\) |
|
Пусть задано правое граничное условие 3-го рода:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(t,\, x = b) = \varphi_2(t)\, u(t,\, x = b) + \psi_2(t).\) |
|
Запишем его аппроксимацию:
| |
\(\displaystyle \frac{u_N^{n+1} - u_{N-1}^{n+1}}{h} = \varphi_2(t^{n+1})\, u_N^{n+1} + \psi_2(t^{n+1}).\) |
|
Подставляя соотношение (4.15) в данное равенство и выражая \(\displaystyle u_N^{n+1}\), получаем:
| |
\(\displaystyle u_N^{n+1} = \frac{h\,\psi_2(t^{n+1}) + \beta_{N-1}}{1 - \alpha_{N-1} - h\,\varphi_2(t^{n+1})}.\) |
|
|