|
3.1. Вывод разностной схемы Кранка-Николсона
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение
параболического типа с начальным и граничными условиями:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - k u + f(t,\, x), \qquad k \ge 0; \qquad u(t = 0,\, x) = \xi(x); \qquad \begin{cases} u(t,\, x = a) = \varphi_1(t); \\ u(t,\, x = b) = \varphi_2(t). \end{cases}\) |
(4.17) |
Запишем для уравнения (4.17) разностную схему, представляя вторую производную функции u
по координате х в виде двух слагаемых
| |
\(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) |
|
и аппроксимируя первое слагаемое на n-ом шаге по времени, а второе - на (n + 1)-ом шаге по времени:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \frac{\sigma}{2}\,\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + \frac{\sigma}{2}\,\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - k\,u_j^{n+1} + f(t^n,\, x_j).\) |
(4.18) |
Данная разностная схема называется разностной схемой Кранка-Николсона в честь авторов, создавших её.
Разложение второй производной функции u
по координате х на две равноценные составляющие, одна из которых
аппроксимируется на n-ом шаге по времени, а другая - на (n + 1)-ом
шаге по времени, указывает на то, что аппроксимацию этой производной в целом следует
рассматривать на шаге по времени (n + 1/2). В то же время конечная разность,
аппроксимирующая производную функции u по времени, по отношению к точке (n + 1/2)
является центральной конечной разностью, имеющей, как известно, второй порядок
аппроксимации. Следовательно, разностная схема Кранка-Николсона аппроксимирует уравнение
(4.17) со вторым порядком и по времени, и по координате:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t^{2}) + O(h^{2}) \qquad \text{или} \qquad O(\Delta t^{2}, h^{2}).\) |
|
Таким образом, порядок аппроксимации разностной схемы Кранка-Николсона выше,
чем порядок аппроксимации явной и неявной разностных схем;
то есть, результаты, получаемые при использовании разностной схемы Кранка-Николсона будут более точными.
|