|
3.2. Понятие разностной схемы
Рассмотрим производные в уравнении (2.13) в точке
\(\displaystyle (t^n, x_j)\) на разностной сетке.
Для аппроксимации производной функции u по времени будем использовать правую
конечную разность, стабилизируя при этом значение независимой переменной х в точке с
порядковым номером j:
| |
\(\displaystyle \left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t^n, x_j} \quad \rightarrow \quad \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t}.\) |
|
Для аппроксимации второй производной функции u
по координате будем использовать разностный оператор (2.12), стабилизируя при этом значение
независимой переменной t в точке с порядковым номером n (или, иначе говоря, на n-ом шаге):
| |
\(\displaystyle \left. \frac{d^2 u}{d x^2} \right|_{t^n, x_j} \quad \rightarrow \quad \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2}.\) |
|
Если подставить записанные конечные разности в исходное дифференциальное уравнение (2.13),
получим соотношение, аппроксимирующее это дифференциальное уравнение в точке \(\displaystyle (t^n, x_j)\)
на разностной сетке, и называемое разностной схемой:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + f(u_j^n, t^n, x_j).\) |
(2.14) |
В записанной разностной схеме (2.14) аппроксимация
второй производной функции u по координате рассматривается на n-ом
шаге по времени, то есть относительно точки tn , для которой
рассматривается аппроксимация всего уравнения. Такая разностная схема называется явной.
Однако аппроксимацию второй производной функции u
по координате можно рассматривать и на (n + 1)-ом шаге по времени, в точке tn+1;
такая разностная схема называется неявной:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + f(u_j^{n+1}, t^n, x_j).\) |
(2.15) |
Отметим, что если в состав свободного члена входит сама функция u, то её значение
должно соответствовать n-му шагу по времени при составлении явной разностной
схемы и (n + 1)-му шагу по времени при составлении неявной разностной схемы.
Значение же переменной t, входящей в состав свободного члена, всегда берётся на n-ом шаге.
Схематическое изображение узлов разностной сетки,
связанных уравнением разностной схемы, называют разностным шаблоном. Разностный шаблон
может служить хорошим ориентиром при выборе метода решения разностной схемы и составлении
алгоритма решения. Разностные шаблоны для разностных схем (2.14) и (2.15) имеют вид:
| для явной разностной схемы |
для неявной разностной схемы |
 |
 |
|