|
1. Математическая модель трубчатого реактора с продольным перемешиванием в нестационарном режиме имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial c}{\partial t}+v\,\frac{\partial c}{\partial x}=D\,\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}-kc^2,\) |
|
где k - константа скорости химической реакции; с - концентрация исходного реагента;
v - линейная скорость потока; х - координата по длине реактора; D - коэффициент диффузии.
Выберите правильное решение задачи обезразмеривания
этого дифференциального уравнения и определения характерных значений линейной скорости
потока, коэффициента диффузии и константы скорости химической реакции.
|
\(\displaystyle \begin{aligned}&c'=\frac{c}{c_0},\quad t'=\frac{t}{t_0},\quad x'=\frac{x}{x_0},\quad v'=\frac{v}{v_0},\quad D'=\frac{D}{D_0},\quad k'=\frac{k}{k_0};\\[4pt]&\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+v_0 v'\frac{c_0}{x_0}\frac{\partial c'}{\partial x'}=D_0 D'\frac{c_0^2}{x_0^2}\frac{\partial^2 c'}{\partial x'^2}-k_0 k' c_0^2 c'^2;\\[4pt]&\frac{\partial c'}{\partial t'}+v_0\frac{t_0}{x_0}v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=D_0\frac{t_0 c_0}{x_0^2}D'\frac{\partial^2 c'}{\partial x'^2}-k_0 c_0 t_0 k' c'^2;\\[4pt]&v_0\frac{t_0}{x_0}=1 \quad\Rightarrow\quad v_0=\frac{x_0}{t_0};\\[4pt]&k_0 c_0 t_0=1 \quad\Rightarrow\quad k_0=\frac{1}{c_0 t_0};\\[4pt]&D_0\frac{t_0 c_0}{x_0^2}=1 \quad\Rightarrow\quad D_0=\frac{x_0^2}{t_0 c_0}=\frac{x_0 v_0}{c_0}.\end{aligned}\) |
|
|
\(\displaystyle \begin{aligned}&c'=\frac{c}{c_0},\quad t'=\frac{t}{t_0},\quad x'=\frac{x}{x_0},\quad v'=\frac{v}{v_0},\quad D'=\frac{D}{D_0},\quad k'=\frac{k}{k_0};\\[4pt]&\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+v_0 v'\frac{c_0}{x_0}\frac{\partial c'}{\partial x'}=D_0 D'\frac{c_0^2}{x_0^2}\frac{\partial^2 c'}{\partial x'^2}-k_0 k' c_0^2 c'^2;\\[4pt]&\frac{\partial c'}{\partial t'}+v_0\frac{t_0}{x_0}v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=D_0\frac{t_0}{x_0^2}D'\frac{\partial^2 c'}{\partial x'^2}-k_0 t_0 k' c'^2;\\[4pt]&v_0\frac{t_0}{x_0}=1 \quad\Rightarrow\quad v_0=\frac{x_0}{t_0};\\[4pt]&k_0 t_0=1 \quad\Rightarrow\quad k_0=\frac{1}{t_0};\\[4pt]&D_0\frac{t_0}{x_0^2}=1 \quad\Rightarrow\quad D_0=\frac{x_0^2}{t_0}=x_0 v_0.\end{aligned}\) |
|
|
\(\displaystyle \begin{aligned}&c'=\frac{c}{c_0},\quad t'=\frac{t}{t_0},\quad x'=\frac{x}{x_0},\quad v'=\frac{v}{v_0},\quad D'=\frac{D}{D_0},\quad k'=\frac{k}{k_0};\\[4pt]&\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+v_0 v'\frac{c_0}{x_0}\frac{\partial c'}{\partial x'}=D_0 D'\frac{c_0^2}{x_0^2}\frac{\partial^2 c'}{\partial x'^2}-k_0 k' c_0^2 c'^2;\\[4pt]&\frac{\partial c'}{\partial t'}+v_0\frac{t_0}{x_0}v'\frac{\partial c'}{\partial x'}=D_0\frac{t_0}{x_0^2}D'\frac{\partial^2 c'}{\partial x'^2}-k_0 c_0 t_0 k' c'^2;\\[4pt]&v_0\frac{t_0}{x_0}=1 \quad\Rightarrow\quad v_0=\frac{x_0}{t_0};\\[4pt]&k_0 c_0 t_0=1 \quad\Rightarrow\quad k_0=\frac{1}{c_0 t_0};\\[4pt]&D_0\frac{t_0}{x_0^2}=1 \quad\Rightarrow\quad D_0=\frac{x_0^2}{t_0}=x_0 v_0.\end{aligned}\) |
|
|
\(\displaystyle \begin{aligned}&c'=\frac{c}{c_0},\quad t'=\frac{t}{t_0},\quad x'=\frac{x}{x_0},\quad v'=\frac{v}{v_0},\quad D'=\frac{D}{D_0},\quad k'=\frac{k}{k_0};\\[4pt]&\frac{c_0}{t_0}\frac{\partial c'}{\partial t'}+v_0 v'\frac{c_0}{x_0}\frac{\partial c'}{\partial x'}=D_0 D'\frac{c_0^2}{x_0^2}\frac{\partial^2 c'}{\partial x'^2}-k_0 k' c_0^2 c'^2;\\[4pt]&v_0\frac{c_0}{x_0}=1 \quad\Rightarrow\quad v_0=\frac{x_0}{c_0};\\[4pt]&k_0 c_0^2=1 \quad\Rightarrow\quad k_0=\frac{1}{c_0^2};\\[4pt]&D_0\frac{c_0}{x_0^2}=1 \quad\Rightarrow\quad D_0=\frac{x_0^2}{c_0}.\end{aligned}\) |
|