Учебник · Глава 2
Преобразование дифференциальной задачи в разностную
2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов
|
2.3. Разностная аппроксимация производной второго порядка
Рассмотрим вторую производную функции u в точке xj :
| |
\(\displaystyle \left. \frac{d^2 u}{d x^2} \right|_{x_j}.\) |
|
Поскольку первая производная функции u является некоторой функцией w от той же
независимой переменной х, что и сама функция u, тогда вторую производную функции
u можно представить как первую производную функции w:
| |
\(\displaystyle \frac{d u}{d x} = w(x) \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2 u}{d x^2} = \frac{d w}{d x}.\) |
|
Аппроксимируя производную функции w в точке xj
правой конечной разностью (2.5), получаем:
| |
\(\displaystyle \left. \frac{d w}{d x} \right|_{x} \quad \rightarrow \quad \frac{w_{j+1} - w_j}{h} = \frac{\left. \frac{d u}{d x} \right|_{x_{j+1}} - \left. \frac{d u}{d x} \right|_{x_j}}{h}.\) |
|
Используя для аппроксимации производной функции u левую конечную разность (2.6),
разностный оператор для аппроксимации второй производной функции u в точке xj можно представить в следующем виде:
| |
\(\displaystyle \left. \frac{d^2 u}{d x^2} \right|_{x_j} \quad \rightarrow \quad \lambda_{xx} u = \frac{\frac{u_{j+1} - u_j}{h} - \frac{u_j - u_{j-1}}{h}}{h} = \frac{u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}}{h^2}.\) |
(2.12) |
Определим порядок аппроксимации полученного разностного оператора.
Подставляя соотношения (2.9), (2.10) в (2.12), получаем:
| |
\(\displaystyle \lambda_{xx} u = \frac{u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}}{h^2} = \frac{2 u''_j \frac{h^2}{2!} + 2 u_j^{IV} \frac{h^4}{4!}}{h^2} = u''_j + u_j^{IV} \frac{h^2}{12} = u''_j + O(h^2).\) |
|
Таким образом, разностный оператор (2.12), аппроксимирующий вторую производную функции u в точке xj , имеет второй порядок аппроксимации.
|