Учебник · Глава 2
Преобразование дифференциальной задачи в разностную
2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов
|
2.1. Разностная аппроксимация производной первого порядка
В основе методов численного решения дифференциальных уравнений,
изучаемых в настоящем учебном пособии, лежит преобразование дифференциальной задачи в разностную
задачу, называемое аппроксимацией*. Однако прежде, чем перейти к проблемам аппроксимации
дифференциальных уравнений, рассмотрим аппроксимацию простейших дифференциальных операторов,
т.е. производных первого и второго порядков.
Рассмотрим функцию одной переменной u = u(x),
для которой задан интервал её изменения x ∈ [a; b]. Разобьём интервал [a; b] на n равных частей (см. рисунок).
Введём следующие обозначения:
| |
u(xj) = uj - значение функции u(x) в точке xj ;
\(\displaystyle x_{j+1} - x_{j} = \Delta x = h\) - величина интервала между точками.
|
|
Введём понятие нормы функции u(xj) с помощью соотношения:
| |
\(\displaystyle \| u \| = \left[ h \sum_{j=1}^{n} u_j^2 \right]^{1/2}.\) |
|
Рассмотрим производную функции u в точке xj:
| |
\(\displaystyle \left. \frac{d u}{d x} \right|_{x_j}.\) |
|
Аппроксимация этой производной может быть введена с помощью следующих разностных операторов:
с помощью правой конечной разности
| |
\(\displaystyle \lambda_x^{+} u = \frac{u_{j+1} - u_j}{h};\) |
(2.5) |
с помощью левой конечной разности
| |
\(\displaystyle \lambda_x^{-} u = \frac{u_j - u_{j-1}}{h};\) |
(2.6) |
с помощью центральной конечной разности
| |
\(\displaystyle \lambda_x^{0} u = \frac{u_{j+1} - u_{j-1}}{2h}.\) |
(2.7) |
Кроме того, разностную аппроксимацию производной первого порядка можно задать в виде линейной комбинации выражений (2.5) и (2.6):
| |
\(\displaystyle \lambda_x^{\sigma} u = \sigma \frac{u_{j+1} - u_j}{h} + (1 - \sigma) \frac{u_j - u_{j-1}}{h},\) |
(2.8) |
где 0 \(\displaystyle \le \sigma \le\) 1.
Видно, что при σ = 0 выражение (2.8) становится левой конечной разностью,
при σ = 1 - правой конечной разностью,
при σ = 1/2 - центральной конечной разностью.
|
