|
3.4. Аппроксимация начальных и граничных условий
Для решения дифференциальных уравнений численными методами требуются начальные и граничные условия.
Рассмотрим, как эти условия следует представлять в разностном виде.
1. Для подавляющего большинства задач начальное условие имеет вид:
| |
\(\displaystyle u(t = 0, x) = \xi(x).\) |
|
Левая часть данного выражения соответствует нижнему ряду точек на разностной сетке,
поэтому с учётом введённой ранее нумерации точек начальное условие в разностном виде
записывается следующим образом:
| |
\(\displaystyle u_j^0 = \xi(x_j),\) |
|
причём значение xj вычисляется согласно правилу:
| |
\(\displaystyle x_1 = a, \quad x_2 = a + h, \quad x_3 = a + 2h, \quad \ldots, \quad x_j = a + (j - 1)h.\) |
|
Отметим, что если a = 0, то
| |
\(\displaystyle x_1 = 0, \quad x_2 = h, \quad x_3 = 2h, \quad \ldots, \quad x_j = (j - 1)h.\) |
(2.19) |
2. Граничные условия 1-го рода имеют вид:
| |
\(\displaystyle u(t, x = a) = \varphi_1(t), \qquad u(t, x = b) = \varphi_2(t).\) |
|
Левая часть левого граничного условия соответствует крайнему слева ряду точек на разностной
сетке; левая часть правого граничного условия - крайнему справа ряду точек. Поэтому с учётом
введённой ранее нумерации точек граничные условия 1-го рода в разностном виде записываются
следующим образом:
| |
\(\displaystyle u_1^n = \varphi_1(t^n), \qquad u_N^n = \varphi_2(t^n),\) |
(2.20) |
причём значение tn вычисляется согласно правилу:
| |
\(\displaystyle t^0 = 0, \qquad t^1 = \Delta t, \qquad t^2 = 2 \Delta t, \qquad \ldots, \qquad t^n = n \cdot \Delta t.\) |
(2.21) |
3. Граничные условия 2-го рода имеют вид:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(t, x = a) = \varphi_1(t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t, x = b) = \varphi_2(t).\) |
|
Левая часть левого граничного условия в некоторой точке tn
аппроксимируется крайней слева конечной разностью на разностной сетке; левая часть правого
граничного условия - крайней справа конечной разностью. Поэтому с учётом введённой ранее
нумерации точек граничные условия 2-го рода в разностном виде записываются следующим образом:
| |
\(\displaystyle \frac{u_2^n - u_1^n}{h} = \varphi_1(t^n), \qquad \frac{u_N^n - u_{N-1}^n}{h} = \varphi_2(t^n).\) |
(2.22) |
4. Граничные условия 3-го рода в общем виде записываются следующим образом:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(t, x = a) = \varphi_1(t) \, u(t, x = a) + \psi_1(t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t, x = b) = \varphi_2(t) \, u(t, x = b) + \psi_2(t).\) |
|
Левая часть левого граничного условия в некоторой точке tn
аппроксимируется крайней слева конечной разностью на разностной сетке, а выражение в правой
части соответствует крайней слева точке; левая часть правого граничного условия
аппроксимируется крайней справа конечной разностью, а выражение в правой части соответствует
крайней справа точке. Поэтому граничные условия 3-го рода в разностном виде записываются
следующим образом:
| |
\(\displaystyle \frac{u_2^n - u_1^n}{h} = \varphi_1(t^n) \, u_1^n + \psi_1(t^n), \qquad \frac{u_N^n - u_{N-1}^n}{h} = \varphi_2(t^n) \, u_N^n + \psi_2(t^n).\) |
(2.23) |
|