Преобразование дифференциальной задачи в разностную. Аппроксимация дифференциальных уравнений. Аппроксимация начальных и граничных условий

Учебник · Глава 2

Преобразование дифференциальной задачи в разностную

3. Аппроксимация дифференциальных уравнений

3.4. Аппроксимация начальных и граничных условий

Для решения дифференциальных уравнений численными методами требуются начальные и граничные условия. Рассмотрим, как эти условия следует представлять в разностном виде.
1. Для подавляющего большинства задач начальное условие имеет вид:

Левая часть данного выражения соответствует нижнему ряду точек на разностной сетке, поэтому с учётом введённой ранее нумерации точек начальное условие в разностном виде записывается следующим образом:

причём значение x_j вычисляется согласно правилу:

Отметим, что если a = 0, то

(2.19)

2. Граничные условия 1-го рода имеют вид:

Левая часть левого граничного условия соответствует крайнему слева ряду точек на разностной сетке; левая часть правого граничного условия - крайнему справа ряду точек. Поэтому с учётом введённой ранее нумерации точек граничные условия 1-го рода в разностном виде записываются следующим образом:

(2.20)

причём значение tⁿ вычисляется согласно правилу:

(2.21)

3. Граничные условия 2-го рода имеют вид:

Левая часть левого граничного условия в некоторой точке tⁿ аппроксимируется крайней слева конечной разностью на разностной сетке; левая часть правого граничного условия - крайней справа конечной разностью. Поэтому с учётом введённой ранее нумерации точек граничные условия 2-го рода в разностном виде записываются следующим образом:

(2.22)

4. Граничные условия 3-го рода в общем виде записываются следующим образом:

Левая часть левого граничного условия в некоторой точке tⁿ аппроксимируется крайней слева конечной разностью на разностной сетке, а выражение в правой части соответствует крайней слева точке; левая часть правого граничного условия аппроксимируется крайней справа конечной разностью, а выражение в правой части соответствует крайней справа точке. Поэтому граничные условия 3-го рода в разностном виде записываются следующим образом:

(2.23)

← 3.3. Порядок аппроксимации разностной схемы 4. Задания для самоконтроля →