Преобразование дифференциальной задачи в разностную. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Понятие порядка аппроксимации.

Учебник · Глава 2

Преобразование дифференциальной задачи в разностную

2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов

2.2. Понятие порядка аппроксимации

Выясним, с какой точностью конечные разности (2.5), (2.6), (2.7) аппроксимируют значение производной функции u в точке x_j. Для этого разложим значения функции \(\displaystyle u_{j+1}, \; u_{j-1}\) в ряд Тейлора относительно точки x_j:

\(\displaystyle u_{j+1} = u_j + u'_j h + u''_j \frac{h^2}{2!} + u'''_j \frac{h^3}{3!} + u_j^{IV} \frac{h^4}{4!} + \ldots,\)

(2.9)

\(\displaystyle u_{j-1} = u_j - u'_j h + u''_j \frac{h^2}{2!} - u'''_j \frac{h^3}{3!} + u_j^{IV} \frac{h^4}{4!} - \ldots\)

(2.10)

Подставляя выражение (2.9) в правую конечную разность (2.5), получаем:

\(\displaystyle \lambda_x^{+} u = \frac{u_{j+1} - u_j}{h} = u'_j + u''_j \frac{h}{2!} + u'''_j \frac{h^2}{3!} + u_j^{IV} \frac{h^3}{4!} + \ldots\)

(2.11)

Первое слагаемое в правой части выражения (2.11) является производной функции u в точке x_j, а все остальные составляют так называемую ошибку аппроксимации, показывающую насколько значение производной функции u в точке x_j, определяемое с помощью разностного оператора, аппроксимирующего эту производную, отличается от её истинного значения.
     Учитывая, что производные любых порядков функции u ограничены в точках интервала [a; b], а величина h после выполнения операции обезразмеривания переменных не будет превышать 1, наиболее существенный вклад в ошибку аппроксимации вносит слагаемое, в котором порядок h наименьший. На основании этого говорят, что рассматриваемая конечная разность имеет порядок аппроксимации по h, соответствующий этой наименьшей степени h в выражении для ошибки аппроксимации.
     Таким образом, понятие "порядок аппроксимации" характеризует точность, с которой разностный оператор аппроксимирует производную функции u в точке x_j: чем выше порядок аппроксимации, тем точнее аппроксимация и, соответственно, меньше её ошибка.
     В случае правой конечной разности наибольший вклад в ошибку аппроксимации вносит второе слагаемое в правой части выражения (2.11) и, следовательно, правая конечная разность имеет первый порядок аппроксимации, что записывается в виде:

\(\displaystyle \lambda_x^{+} u = u'_j + O(h).\)

Подставляя выражение (2.10) в левую конечную разность (2.6), получаем:

\(\displaystyle \lambda_x^{-} u = \frac{u_j - u_{j-1}}{h} = u'_j - u''_j \frac{h}{2!} + u'''_j \frac{h^2}{3!} - u_j^{IV} \frac{h^3}{4!} + \ldots = u'_j + O(h).\)

Таким образом, левая конечная разность также имеет первый порядок аппроксимации.
Подставляя выражения (2.9), (2.10) в центральную конечную разность (2.7), получаем:

\(\displaystyle \lambda_x^{0} u = \frac{u_{j+1} - u_{j-1}}{2h} = u'_j + u'''_j \frac{h^2}{3!} + \ldots = u'_j + O(h^2).\)

Таким образом, центральная конечная разность имеет второй порядок аппроксимации и, следовательно, значение производной функции u в точке x_j, полученное при использовании центральной конечной разности, будет ближе к истинному значению, чем при использовании правой или левой конечных разностей.

← 2.1. Разностная аппроксимация производной первого порядка 2.3. Разностная аппроксимация производной второго порядка →