|
1.2. Методика определения неизвестных характерных параметров процесса
Рассмотрим методику определения неизвестных характерных параметров.
Для этого выразим переменные математической модели через характерные и безразмерные значения:
| |
\(\displaystyle c = c' \cdot c_0, \quad t = t' \cdot t_0, \quad r = r' \cdot r_0, \quad \eta = \eta' \cdot \eta_0, \quad f = f' \cdot f_0, \quad \rho_2^0 = \rho_2^{\prime 0} \cdot c_0.\) |
|
Затем подставим их в исходную систему уравнений (2.1):
| |
\(\displaystyle \frac{c_0}{t_0}\, \frac{dc'}{dt'} = -c_0\, f_0\, \eta_0\, r_0 \int\limits_0^R \rho_2^{\prime 0} f'\, \eta'\, dr', \qquad \frac{f_0}{t_0}\, \frac{\partial f'}{\partial t'} + \frac{f_0\, \eta_0}{r_0}\, \eta'\, \frac{\partial f'}{\partial r'} = 0.\) |
(2.2) |
Рассмотрим второе уравнение в системе (2.2), которое после
несложных преобразований можно представить в виде:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial f'}{\partial t'} + \frac{t_0\, \eta_0}{r_0}\, \eta'\, \frac{\partial f'}{\partial r'} = 0.\) |
|
Для того чтобы полученное обезразмеренное уравнение совпало с исходным, комплекс характерных
параметров, стоящий перед вторым слагаемым, необходимо приравнять единице:
| |
\(\displaystyle \frac{t_0\, \eta_0}{r_0} = 1.\) |
|
Следовательно, характерное значение скорости роста кристаллов определяется по формуле:
| |
\(\displaystyle \eta_0 = \frac{r_0}{t_0}\,.\) |
(2.3) |
Рассмотрим теперь первое уравнение в системе (2.2), которое
после несложных преобразований можно привести к виду:
| |
\(\displaystyle \frac{dc'}{dt'} = -t_0\, f_0\, \eta_0\, r_0 \int\limits_0^R \rho_2^{\prime 0} f'\, \eta'\, dr'.\) |
|
Для того чтобы полученное обезразмеренное уравнение совпало с исходным, комплекс характерных
параметров, стоящий перед интегралом в правой части уравнения, необходимо приравнять единице:
| |
\(\displaystyle t_0\, f_0\, \eta_0\, r_0 = 1.\) |
|
Отсюда, используя соотношение (2.3), получаем характерное значение плотности функции распределения
кристаллов по размерам:
| |
\(\displaystyle f_0 = \frac{1}{t_0\, r_0\, \eta_0} = \frac{1}{t_0\, r_0\, \dfrac{r_0}{t_0}} = \frac{1}{r_0^{2}}\,.\) |
(2.4) |
Таким образом, если характерные значения скорости роста
кристаллов и плотности функции распределения кристаллов по размерам соответствуют выражениям (2.3),
(2.4), то оба уравнения в системе (2.2) полностью совпадают с исходными уравнениями математической
модели процесса кристаллизации (2.1). Однако порядки переменных в уравнениях системы (2.1)
различны (например, функция f имеет порядок \(\displaystyle \sim\)1020, а η - \(\displaystyle \sim\)10-10), вследствие чего расчётные ошибки при
определении функции f , не значимые для неё самой, могут привести к сильным искажениям значений η.
В то же время при численном решении уравнений системы (2.2) этого не произойдёт, так как все
переменные в них имеют одинаковый порядок.
|