Учебник · Глава 4
Решение дифференциальных уравнений параболического типа.
3. Разностная схема Кранка-Николсона
|
3.3. Метод решения разностной схемы Кранка-Николсона
Разностный шаблон (см. рисунок),
характеризующий разностную схему Кранка-Николсона (4.18), свидетельствует о том,
что она содержит три неизвестные величины - значения функции u на (n + 1)-ом шаге по времени.
Следовательно, для решения данной разностной схемы необходимо использовать метод прогонки.
Методики определения прогоночных коэффициентов и решения на правой границе,
а также общий вид алгоритма решения в данном случае будут такими же, как и для неявной
разностной схемы (4.6). Однако достаточное условие сходимости прогонки (4.16) требует
проверки.
Приведём выражение (4.18) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:
| |
\(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{\sigma\Delta t}{2h^{2}} u_{j+1}^{n+1} + \left(1 + \frac{\sigma\Delta t}{h^{2}} + k\Delta t\right) u_{j}^{n+1} - \frac{\sigma\Delta t}{2h^{2}} u_{j-1}^{n+1} &= \\ = u_{j}^{n} + \frac{\sigma\Delta t}{2h^{2}}\,(u_{j+1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j-1}^{n}) &+ f(t^{n}, x_{j})\,\Delta t. \end{aligned}\) |
|
Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle \begin{gathered} a_{j} = c_{j} = -\frac{\sigma\Delta t}{2h^{2}}, \qquad b_{j} = 1 + \frac{\sigma\Delta t}{h^{2}} + k\Delta t, \\ \xi_{j}^{n} = u_{j}^{n} + \frac{\sigma\Delta t}{2h^{2}}\,(u_{j+1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j-1}^{n}) + f(t^{n}, x_{j})\,\Delta t. \end{gathered}\) |
|
Легко видеть, что для разностной схемы (4.18) достаточное условие сходимости прогонки выполняется:
| |
\(\displaystyle \left|a_{j}\right| + \left|c_{j}\right| = \frac{\sigma\Delta t}{h^{2}} < 1 + \frac{\sigma\Delta t}{h^{2}} + k\Delta t = \left|b_{j}\right|.\) |
|
|
