Учебник · Глава 4
Решение дифференциальных уравнений параболического типа.
1. Явная разностная схема
|
1.1. Характеристика явной разностной схемы.
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа
с начальным и граничными условиями:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(u, t, x); \qquad u(t = 0, x) = \xi(x); \qquad \begin{cases} u(t, x = a) = \varphi_1(t); \\ u(t, x = b) = \varphi_2(t). \end{cases}\) |
(4.1) |
Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + f(u_j^n, t^n, x_j).\) |
(4.2) |
Запишем аппроксимацию начального и граничных условий:
| |
\(\displaystyle u_j^0 = \xi(x_j); \qquad u_1^{n+1} = \varphi_1(t^{n+1}); \qquad u_N^{n+1} = \varphi_2(t^{n+1}).\) |
(4.3) |
Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге
по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной
разностной схемы (4.2).
В разделе "Порядок аппроксимации разностной схемы"
было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t, h^2).\) |
|
В разделе "Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы"
было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение
на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря,
ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):
| |
\(\displaystyle \frac{\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{2\sigma}.\) |
|
Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2).
В то же время она имеет достаточно простой метод решения.
|