|
1.2. Метод решения явной разностной схемы
Выразим из разностной схемы (4.2) величину \(\displaystyle u_j^{n+1}\):
| |
\(\displaystyle u_j^{n+1} = u_j^n + \frac{\sigma \Delta t}{h^2}(u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n) + f(u_j^n, t^n, x_j)\,\Delta t.\) |
(4.4) |
Значения \(\displaystyle u_j^0\) для любого j могут быть определены с помощью аппроксимации начального
условия (4.3). Если задать n = 0, то, пользуясь выражением (4.4), можно определить
значения \(\displaystyle u_j^1, \; j = 2, \ldots, N - 1\). Значения \(\displaystyle u_1^1, \; u_N^1\) определяются с помощью аппроксимации граничных условий (4.3).
Далее, задаём n = 1 и из выражения (4.4) определяем \(\displaystyle u_j^2, \; j = 2, \ldots, N - 1\), а значения \(\displaystyle u_1^2, \; u_N^2\) - опять же с помощью
аппроксимации граничных условий (4.3) и т. д. Таким образом, соотношение (4.4) позволяет
рассчитать все значения искомой функции u в узлах разностной сетки, кроме значений,
задаваемых с помощью начального и граничных условий. Описанную методику решения
явной разностной схемы наглядно характеризует её разностный шаблон (см. рисунок),
на котором n-й шаг по времени следует считать известным, а (n + 1)-й шаг по времени -
искомым.
Соотношения типа (4.4), позволяющие
рассчитывать значения искомой функции u в узлах разностной сетки через
известные значения функции u в других (как правило, соседних) узлах разностной сетки,
называют рекуррентными соотношениями.
Обратим внимание, что если вместо
граничных условий 1-го рода (4.1) будут заданы граничные условия 2-го или 3-го рода,
то расчёт значений \(\displaystyle u_1^{n+1}, \; u_N^{n+1}\) несколько усложняется.
Рассмотрим граничные условия 2-го рода:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(t, x = a) = \varphi_1(t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t, x = b) = \varphi_2(t).\) |
|
Запишем их аппроксимацию:
| |
\(\displaystyle \frac{u_2^{n+1} - u_1^{n+1}}{h} = \varphi_1(t^{n+1}), \qquad \frac{u_N^{n+1} - u_{N-1}^{n+1}}{h} = \varphi_2(t^{n+1}).\) |
|
Выразим значения \(\displaystyle u_1^{n+1}, \; u_N^{n+1}\):
| |
\(\displaystyle u_1^{n+1} = u_2^{n+1} - h\,\varphi_1(t^{n+1}), \qquad u_N^{n+1} = u_{N-1}^{n+1} + h\,\varphi_2(t^{n+1}).\) |
(4.4а) |
Рассмотрим граничные условия 3-го рода:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(t, x = a) = \varphi_1(t)\, u(t, x = a) + \psi_1(t), \qquad \frac{\partial u}{\partial x}(t, x = b) = \varphi_2(t)\, u(t, x = b) + \psi_2(t).\) |
|
Запишем их аппроксимацию:
| |
\(\displaystyle \frac{u_2^{n+1} - u_1^{n+1}}{h} = \varphi_1(t^{n+1})\, u_1^{n+1} + \psi_1(t^{n+1}), \qquad \frac{u_N^{n+1} - u_{N-1}^{n+1}}{h} = \varphi_2(t^{n+1})\, u_N^{n+1} + \psi_2(t^{n+1}).\) |
|
Выразим значения \(\displaystyle u_1^{n+1}, \; u_N^{n+1}\):
| |
\(\displaystyle u_1^{n+1} = \frac{u_2^{n+1} - h\,\psi_1(t^{n+1})}{1 + h\,\varphi_1(t^{n+1})}, \qquad u_N^{n+1} = \frac{u_{N-1}^{n+1} + h\,\psi_2(t^{n+1})}{1 - h\,\varphi_2(t^{n+1})}.\) |
(4.4б) |
|
