Решение дифференциальных уравнений параболического типа. Разностная схема Кранка-Николсона. Устойчивость разностной схемы Кранка-Николсона.

Учебник · Глава 4

Решение дифференциальных уравнений параболического типа.

3. Разностная схема Кранка-Николсона

3.2. Устойчивость разностной схемы Кранка-Николсона

Исследуем устойчивость разностной схемы Кранка-Николсона (4.18) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f(t^{n}, x_{j})\), наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):

\(\displaystyle u_{j}^{n} = \lambda^{n} e^{i\alpha j} \qquad \Longrightarrow \qquad \begin{aligned}\frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} - \lambda^{n} e^{i\alpha j}}{\Delta t} &= \frac{\sigma}{2}\,\frac{\lambda^{n} e^{i\alpha(j+1)} - 2\lambda^{n} e^{i\alpha j} + \lambda^{n} e^{i\alpha(j-1)}}{h^{2}} + \\ &+ \frac{\sigma}{2}\,\frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha(j+1)} - 2\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} + \lambda^{n+1} e^{i\alpha(j-1)}}{h^{2}} - k\,\lambda^{n+1} e^{i\alpha j}.\end{aligned}\)

Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^{n} e^{i\alpha j}\):

\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = \frac{\sigma}{2}\,\frac{e^{i\alpha} - 2 + e^{-i\alpha}}{h^{2}} + \frac{\sigma}{2}\,\frac{\lambda e^{i\alpha} - 2\lambda + \lambda e^{-i\alpha}}{h^{2}} - k\,\lambda.\)

Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу

\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = -\frac{\sigma}{2h^{2}}\,4\sin^{2}\frac{\alpha}{2} + \frac{\sigma\lambda}{2h^{2}}\,4\sin^{2}\frac{\alpha}{2} - k\,\lambda,\)

из которой выражаем λ:

\(\displaystyle \lambda = \frac{1 - \dfrac{2\sigma\Delta t}{h^{2}}\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}}{1 + \dfrac{2\sigma\Delta t}{h^{2}}\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2} + k\Delta t}.\)

Видно, что в полученном выражении числитель по абсолютному значению меньше знаменателя (при σ > 0* и k \(\displaystyle \geq\) 0*). Следовательно, необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8) в данном случае выполняется при любых значениях δt и h; то есть, разностная схема Кранка-Николсона (4.18) является абсолютно устойчивой.

Отметим, что при k < 0* спектральный метод не будет гарантировать устойчивость разностной схемы (4.18), поскольку \(\displaystyle \sin^{2}(\alpha/2)\) может принимать любые значения от 0 до 1 и при \(\displaystyle \sin^{2}(\alpha/2)\) = 0 числитель будет больше знаменателя при любом положительном δt. Очевидно, данный случай требует особого метода решения.

← 3.1. Вывод разностной схемы Кранка-Николсона 3.3. Метод решения разностной схемы Кранка-Николсона →