Учебник · Глава 4
Решение дифференциальных уравнений параболического типа.
3. Разностная схема Кранка-Николсона
|
3.2. Устойчивость разностной схемы Кранка-Николсона
Исследуем устойчивость разностной схемы Кранка-Николсона
(4.18) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член
 :
 :
Видно, что в полученном выражении числитель по абсолютному значению меньше знаменателя (при  > 0*
и k  0*). Следовательно, необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8)
в данном случае выполняется при любых значениях  t и h; то есть, разностная схема
Кранка-Николсона (4.18) является абсолютно устойчивой.
Отметим, что при k < 0* спектральный метод не будет гарантировать устойчивость разностной схемы (4.18), поскольку 
может принимать любые значения от 0 до 1 и при = 0 числитель будет больше знаменателя при
любом положительном t. Очевидно, данный случай требует особого метода решения.
|
, наличие которого,
