|
В настоящем учебном пособии изучается два метода,
позволяющих исследовать устойчивость разностных схем. Первый из них называется
гармоническим или спектральным методом анализа разностных схем. Второй - метод тестовых
задач - будет описан в конце курса.
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение
параболического типа, свободный член которого не включает искомую функцию u:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(t, x).\) |
(3.3) |
Запишем для него явную разностную схему:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + f(t^n, x_j).\) |
(3.4) |
Погрешность решения разностной схемы (3.4)
в точке \(\displaystyle (t^n, x_j)\) можно представить с помощью соотношения:
| |
\(\displaystyle z_j^n = u_j^n - [u(t^n, x_j)].\) |
|
Здесь \(\displaystyle u_j^n\) - решение разностной схемы (3.4)
в точке \(\displaystyle (t^n, x_j)\);
\(\displaystyle [u(t^n, x_j)]\) - истинное решение исходного дифференциального уравнения (3.3)
в точке \(\displaystyle (t^n, x_j)\). Выражая из данного соотношения \(\displaystyle u_j^n\)
и подставляя в разностную схему (3.4), получаем:
| |
\(\displaystyle \frac{z_j^{n+1} - z_j^n}{\Delta t} + \frac{[u(t^{n+1}, x_j)] - [u(t^n, x_j)]}{\Delta t} = \sigma \frac{z_{j+1}^n - 2z_j^n + z_{j-1}^n}{h^2} + \sigma \frac{[u(t^n, x_{j+1})] - 2[u(t^n, x_j)] + [u(t^n, x_{j-1})]}{h^2} + f(t^n, x_j).\) |
|
В разделе "Порядок аппроксимации разностной схемы"
было доказано, что разностная схема (3.4) имеет порядок аппроксимации:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t) + O(h^2).\) |
|
Следовательно, имеет место следующее равенство:
| |
\(\displaystyle \frac{[u(t^{n+1}, x_j)] - [u(t^n, x_j)]}{\Delta t} = \sigma \frac{[u(t^n, x_{j+1})] - 2[u(t^n, x_j)] + [u(t^n, x_{j-1})]}{h^2} + f(t^n, x_j) + O(\Delta t) + O(h^2).\) |
|
С учётом данного выражения получаем разностную схему для погрешности решения:
| |
\(\displaystyle \frac{z_j^{n+1} - z_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{z_{j+1}^n - 2z_j^n + z_{j-1}^n}{h^2} + O(\Delta t) + O(h^2).\) |
(3.5) |
|