Учебник · Глава 3
Спектральный метод анализа устойчивости разностных схем
5. Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальное уравнение параболического типа
|
Рассмотрим неявную разностную схему, аппроксимирующую дифференциальное уравнение (3.3):
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + f(t^n, x_j).\) |
|
Можно доказать, что разностная схема для погрешности решения в этом случае
(как и в случае явной разностной схемы), по структуре совпадает с неявной разностной схемой
для однородного уравнения параболического типа. Поэтому для исследования устойчивости
неявной разностной схемы отбрасываем свободный член и представляем решение в виде
гармоники (3.7) (по аналогии с тем, как это было сделано для явной разностной схемы):
| |
\(\displaystyle u_j^n = \lambda^n e^{i \alpha j} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\lambda^{n+1} e^{i \alpha j} - \lambda^n e^{i \alpha j}}{\Delta t} = \sigma \frac{\lambda^{n+1} e^{i \alpha (j+1)} - 2 \lambda^{n+1} e^{i \alpha j} + \lambda^{n+1} e^{i \alpha (j-1)}}{h^2}.\) |
|
Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^n e^{i \alpha j}\):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = \sigma \lambda \frac{e^{i \alpha} - 2 + e^{-i \alpha}}{h^2}.\) |
|
Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу, из которой затем выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = \sigma \lambda \frac{-4 \sin^2 \dfrac{\alpha}{2}}{h^2} \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = \frac{1}{1 + 4 \dfrac{\sigma \Delta t}{h^2} \sin^2 \dfrac{\alpha}{2}} \le 1.\) |
|
Легко видеть, что необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8)
в данном случае выполняется при любых значениях δt и h. Такие разностные схемы,
устойчивость которых не зависит от выбора интервала деления на разностной сетке,
называют абсолютно устойчивыми.
|