|
Выразим из соотношения (3.5) величину погрешности на
(n + 1)-ом шаге по времени:
| |
\(\displaystyle z_j^{n+1} = z_j^n + \frac{\sigma \Delta t}{h^2} \left[ z_{j+1}^n - 2z_j^n + z_{j-1}^n \right] + \Delta t \left[ O(\Delta t) + O(h^2) \right].\) |
|
Последний член в правой части полученного выражения имеет порядок малости,
явно меньший δt, что позволяет им пренебречь. Таким образом, получаем:
| |
\(\displaystyle z_j^{n+1} = z_j^n + \frac{\sigma \Delta t}{h^2} \left[ z_{j+1}^n - 2z_j^n + z_{j-1}^n \right].\) |
|
Представим данное выражение в операторном виде:
| |
\(\displaystyle z^{n+1} = z^n + \sigma \Delta t \, L_n z^n = \left( E + \sigma \Delta t \, L_n \right) z^n = B z^n.\) |
|
Здесь zn - вектор погрешностей, Е - единичный оператор:
| |
\(\displaystyle z^n = \begin{pmatrix} z_1^n \\ z_2^n \\ \dots \\ z_N^n \end{pmatrix}, \qquad E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix}, \qquad L_n z^n = \frac{z_{j+1}^n - 2z_j^n + z_{j-1}^n}{h^2}.\) |
|
Оператор В, определяемый с помощью выражения
| |
\(\displaystyle B = E + \sigma \Delta t \, L_n,\) |
|
называют оператором перехода от n-го шага по времени к (n + 1)-му шагу по времени.
Для того чтобы разностная схема (3.4),
аппроксимирующая дифференциальное уравнение (3.3), была устойчива,
необходимо (согласно определению устойчивости разностных схем),
чтобы норма погрешности на (n + 1)-ом шаге по времени не превосходила нормы
погрешности на n-ом шаге по времени, то есть:
| |
\(\displaystyle \left\| z^{n+1} \right\| \le \left\| z^n \right\|.\) |
(3.6) |
Погрешность решения разностной схемы в точке \(\displaystyle (t^n, x_j)\)
можно представить в виде комплексного выражения (гармоники):
| |
\(\displaystyle z_j^n = \lambda^n e^{i \alpha j},\) |
(3.7) |
где \(\displaystyle \lambda\) - собственное число оператора перехода В; i - мнимая единица.
Теорема. Для того,
чтобы разностная схема была устойчива (т.е. для выполнения условия (3.6)), необходимо,
чтобы все собственные числа оператора перехода В удовлетворяли условию:
| |
\(\displaystyle \left| \lambda \right| \le 1.\) |
(3.8) |
Данное условие является необходимым условием устойчивости разностных схем.
|