|
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа,
свободный член которого включает искомую функцию u следующим образом:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - k u.\) |
(3.13) |
Подобные уравнения часто встречаются в математических моделях химических реакторов, в которых
протекают прямые реакции. Поэтому важно знать, каким образом наличие подобного свободного члена
влияет на устойчивость разностных схем.
Запишем для уравнения (3.13) явную разностную схему:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} - k u_j^n.\) |
(3.14) |
Осуществляя выкладки, аналогичные описанным ранее (для случая уравнения, свободный член которого
не включает функцию u), можно получить разностную схему для погрешности решения, которая будет
иметь вид:
| |
\(\displaystyle \frac{z_j^{n+1} - z_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{z_{j+1}^n - 2z_j^n + z_{j-1}^n}{h^2} - k z_j^n + O(\Delta t) + O(h^2).\) |
|
Наличие слагаемого \(\displaystyle -k z_j^n\) в правой части данного уравнения говорит о том, что свободный член в
уравнении (3.13) влияет на погрешность вычислений, поэтому отбрасывать его при анализе устойчивости разностной схемы (3.14) нельзя.
Представляя решение разностной схемы (3.14) в виде гармоники (3.7), получаем:
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda^{n+1} e^{i \alpha j} - \lambda^n e^{i \alpha j}}{\Delta t} = \sigma \frac{\lambda^n e^{i \alpha (j+1)} - 2 \lambda^n e^{i \alpha j} + \lambda^n e^{i \alpha (j-1)}}{h^2} - k \lambda^n e^{i \alpha j}.\) |
|
Далее, деля левую и правую части данного выражения на \(\displaystyle \lambda^n e^{i \alpha j}\) и используя зависимости (3.9), (3.10),
получаем формулу, из которой затем выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = -\frac{4 \sigma}{h^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} - k \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = 1 - \frac{4 \sigma \Delta t}{h^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} - k \Delta t.\) |
|
С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем (3.8) имеем:
| |
\(\displaystyle \left| \lambda \right| \le 1 \qquad \Rightarrow \qquad -1 \le 1 - \frac{4 \sigma \Delta t}{h^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} - k \Delta t \le 1.\) |
|
Анализ полученного неравенства, аналогичный описанному выше
(для случая уравнения, свободный член которого не включает функцию u), позволяет получить
условие устойчивости явной разностной схемы (3.14), аппроксимирующей уравнение (3.13):
| |
\(\displaystyle \frac{4 \sigma \Delta t}{h^2} + k \Delta t \le 2 \qquad \Rightarrow \qquad \Delta t \le \frac{2 h^2}{4 \sigma + k h^2}.\) |
|
Легко доказать, что на абсолютную устойчивость неявной разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (3.13),
наличие рассматриваемого свободного члена не повлияет.
|