Учебник · Глава 4
Решение дифференциальных уравнений параболического типа.
5. Сравнительная характеристика изученных разностных схем
|
В заключение приведём сравнительную характеристику
разностных схем, аппроксимирующих одномерное дифференциальное уравнение
параболического типа:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - ku + f(t, x), \qquad k \ge 0.\) |
|
1. Явная разностная схема
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^{n}}{\Delta t} = \sigma\frac{u_{j+1}^{n} - 2u_j^{n} + u_{j-1}^{n}}{h^2} - ku_j^{n} + f(t^n, x_j).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h^2).\)
Условно устойчива \(\displaystyle \Delta t \le \frac{2h^2}{4\sigma + kh^2}.\)
Решается с помощью рекуррентного соотношения (4.4).
2. Неявная разностная схема
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^{n}}{\Delta t} = \sigma\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - ku_j^{n+1} + f(t^n, x_j).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h^2).\)
Абсолютно устойчива
Решается методом прогонки
3. Разностная схема Кранка-Николсона
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \frac{\sigma}{2}\,\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + \frac{\sigma}{2}\,\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - k\,u_j^{n+1} + f(t^n,\, x_j).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h^2).\)
Абсолютно устойчива
Решается методом прогонки
4. Разностная схема Саульева
| | \(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^{n}}{\Delta t} = \sigma\frac{u_{j+1}^{n} - (u_j^{n} + u_j^{n+1}) + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - ku^{n+1} + f(t^{n+1}, x_j);\) |
| | | \(\displaystyle \frac{u_{j}^{n+2} - u_{j}^{n+1}}{\Delta t} = \sigma\,\frac{u_{j+1}^{n+2} - (u_{j}^{n+2} + u_{j}^{n+1}) + u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}} - k u^{n+1} + f(t^{n+1}, x_{j}).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h^2) \text{ при } \Delta t \sim h^2.\)
Абсолютно устойчива
Решается с помощью рекуррентных соотношений (4.25) и (4.26)
|