|
4.1. Вывод разностной схемы Саульева
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение
параболического типа с начальным и граничными условиями:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - k u + f(t,\, x), \qquad k \ge 0; \qquad u(t = 0,\, x) = \xi(x); \qquad \begin{cases} u(t,\, x = a) = \varphi_1(t); \\ u(t,\, x = b) = \varphi_2(t). \end{cases}\) |
(4.19) |
Представим разностный оператор для аппроксимации второй производной функции u по координате х (2.12) в следующем виде:
| |
\(\displaystyle \left.\frac{d^{2}u}{dx^{2}}\right|_{x_{j}} \qquad \to \qquad \lambda_{xx} u = \frac{u_{j+1} - 2u_{j} + u_{j-1}}{h^{2}} = \frac{\dfrac{u_{j+1} - u_{j}}{h} - \dfrac{u_{j} - u_{j-1}}{h}}{h}.\) |
(4.20) |
Аппроксимируя первую дробь числителя в выражении (4.20) на n-ом шаге по
времени, а вторую дробь и свободный член в уравнении (4.19) - на (n + 1)-ом шаге
по времени, получим соотношение
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = \sigma\,\frac{\dfrac{u_{j+1}^{n} - u_{j}^{n}}{h} - \dfrac{u_{j}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h}}{h} - k u^{n+1} + f(t^{n+1}, x_{j})\) |
|
или, упрощая,
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = \sigma\,\frac{u_{j+1}^{n} - (u_{j}^{n} + u_{j}^{n+1}) + u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}} - k u^{n+1} + f(t^{n+1}, x_{j}).\) |
(4.21) |
Соотношение (4.21) не аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (4.19).
Поэтому рассмотрим следующий шаг по времени на разностной сетке:
| |
\(\displaystyle u_{j}^{n+1} \to u_{j}^{n+2}.\) |
|
Аппроксимируя на этот раз первую дробь числителя в выражении (4.20)
на (n + 2)-ом шаге по времени, а вторую дробь и свободный член в уравнении
(4.19) - на (n + 1)-ом шаге по времени, получим соотношение
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j}^{n+2} - u_{j}^{n+1}}{\Delta t} = \sigma\,\frac{\dfrac{u_{j+1}^{n+2} - u_{j}^{n+2}}{h} - \dfrac{u_{j}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h}}{h} - k u^{n+1} + f(t^{n+1}, x_{j})\) |
|
или, упрощая,
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j}^{n+2} - u_{j}^{n+1}}{\Delta t} = \sigma\,\frac{u_{j+1}^{n+2} - (u_{j}^{n+2} + u_{j}^{n+1}) + u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}} - k u^{n+1} + f(t^{n+1}, x_{j}).\) |
(4.22) |
Соотношение (4.22) также не аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (4.19).
Однако в совокупности выражения (4.21) и (4.22) составляют разностную схему,
называемую в честь её автора, разностной схемой Саульева. Сами выражения (4.21) и (4.22)
называют первой и второй ступенями разностной схемы Саульева, соответственно.
|