|
2.3. Определение прогоночных коэффициентов на 1-м шаге по координате
Для определения прогоночных коэффициентов
на 1-м шаге по координате х, т.е. \(\displaystyle \alpha_1, \; \beta_1\), используют рекуррентное прогоночное соотношение
(4.11), записанное для j = 1:
| |
\(\displaystyle u_1^{n+1} = \alpha_1 u_2^{n+1} + \beta_1,\) |
(4.14) |
и левое граничное условие (4.7):
| |
\(\displaystyle u_1^{n+1} = \varphi_1(t^{n+1}).\) |
|
Сравнивая эти два соотношения, получаем:
| |
\(\displaystyle \alpha_1 = 0, \qquad \beta_1 = \varphi_1(t^{n+1}).\) |
|
Обратим внимание, что вместо граничных условий
1-го рода (4.5) могут быть заданы граничные условия 2-го или 3-го рода;
методика определения \(\displaystyle \alpha_1, \; \beta_1\) при этом не изменится, хотя сами формулы для расчёта \(\displaystyle \alpha_1, \; \beta_1\)
будут другими.
Пусть задано левое граничное условие 2-го рода:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(t,\, x = a) = \varphi_1(t).\) |
|
Запишем его аппроксимацию и выразим значение \(\displaystyle u_1^{n+1}\):
| |
\(\displaystyle \frac{u_2^{n+1} - u_1^{n+1}}{h} = \varphi_1(t^{n+1}) \qquad \Rightarrow \qquad u_1^{n+1} = u_2^{n+1} - h\,\varphi_1(t^{n+1}).\) |
|
Сравнивая данное выражение с соотношением (4.14), получаем:
| |
\(\displaystyle \alpha_1 = 1, \qquad \beta_1 = -h\,\varphi_1(t^{n+1}).\) |
|
Пусть задано левое граничное условие 3-го рода:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(t,\, x = a) = \varphi_1(t)\, u(t,\, x = a) + \psi_1(t).\) |
|
Запишем его аппроксимацию и выразим значение \(\displaystyle u_1^{n+1}\):
| |
\(\displaystyle \frac{u_2^{n+1} - u_1^{n+1}}{h} = \varphi_1(t^{n+1})\, u_1^{n+1} + \psi_1(t^{n+1}) \qquad \Rightarrow \qquad u_1^{n+1} = \frac{u_2^{n+1} - h\,\psi_1(t^{n+1})}{1 + h\,\varphi_1(t^{n+1})} = \frac{u_2^{n+1}}{1 + h\,\varphi_1(t^{n+1})} - \frac{h\,\psi_1(t^{n+1})}{1 + h\,\varphi_1(t^{n+1})}.\) |
|
Сравнивая данное выражение с соотношением (4.14), получаем:
| |
\(\displaystyle \alpha_1 = \frac{1}{1 + h\,\varphi_1(t^{n+1})}, \qquad \beta_1 = -\frac{h\,\psi_1(t^{n+1})}{1 + h\,\varphi_1(t^{n+1})}.\) |
|
|