|
Исследуем устойчивость неявной разностной схемы (7.3),
аппроксимирующей дифференциальное уравнение (7.1), с помощью спектрального метода.
Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f_{j,k}^{n}\), наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость
разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n} = \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}, \qquad \alpha \in [0, 2\pi], \quad \beta \in [0, 2\pi]; \qquad \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta k} - \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}}{\Delta t} = \sigma \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha(j+1)} e^{i\beta k} - 2\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta k} + \lambda^{n+1} e^{i\alpha(j-1)} e^{i\beta k}}{h_x^2} + \sigma \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta(k+1)} - 2\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta k} + \lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta(k-1)}}{h_y^2} - k \lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}.\) |
|
Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}\):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = \sigma \lambda \left( \frac{e^{i\alpha} - 2 + e^{-i\alpha}}{h_x^2} + \frac{e^{i\beta} - 2 + e^{-i\beta}}{h_y^2} \right) - k \lambda.\) |
|
Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = -\lambda \frac{\sigma}{h_x^2} 4\sin^2 \frac{\alpha}{2} - \lambda \frac{\sigma}{h_y^2} 4\sin^2 \frac{\beta}{2} - k \lambda,\) |
|
из которой выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \lambda = \frac{1}{1 + 4\sigma \dfrac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2 \dfrac{\alpha}{2} + 4\sigma \dfrac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2 \dfrac{\beta}{2} + k \Delta t}.\) |
|
Видно, что собственные числа оператора перехода удовлетворяют необходимому условию устойчивости
разностных схем (3.8) при любых значениях \(\displaystyle \Delta t,\, h_x,\, h_y\);
следовательно, неявная разностная схема (7.3) является
абсолютно устойчивой.
Разностный шаблон (см. рисунок), характеризующий неявную разностную схему (7.3),
свидетельствует о том, что она содержит пять неизвестных величин - значений функции u на
(n + 1)-ом шаге по времени. Это означает, что разностная схема (7.3) без дополнительных
преобразований неразрешима.
|
