|
Рассмотрим способ интерпретации неявной разностной схемы (7.3),
позволяющий добиться повышения порядка аппроксимации по времени, - схему переменных направлений:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j,k+1}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j,k-1}^{n}}{h_y^2},\) |
(7.13) |
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} + \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j,k+1}^{n+1} - 2u_{j,k}^{n+1} + u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^{n+1/2}.\) |
|
Первая подсхема в схеме переменных направлений (7.13) аппроксимируется на первом полушаге интервала \(\displaystyle \Delta t\)
и является неявной по координате x и явной по координате y. Вторая подсхема
аппроксимируется на втором полушаге интервала \(\displaystyle \Delta t\) и является неявной по координате y и
явной по координате x. Каждая из подсхем (как и в случае схемы расщепления (7.7), (7.8))
является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки.
Обратим внимание на две особенности, которые необходимо учитывать
при записи схемы переменных направлений (7.13): 1) коэффициенты перед разностными операторами,
аппроксимирующими производные \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) и \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\), должны быть поделены пополам;
2) свободный член записывается во второй подсхеме и аппроксимируется на шаге (n + 1/2).
Складывая обе подсхемы и принимая во внимание обозначения (7.6), получаем:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \frac{\sigma}{2} \left( \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1} + \lambda_{yy} u_{j,k}^{n} \right) - k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^{n+1/2}.\) |
|
Видно, что правая часть данного соотношения аппроксимируется относительно точки \(\displaystyle t^{n+1/2}\). Это означает,
что разностный оператор в левой части является центральной конечной разностью, которая, как известно,
имеет второй порядок аппроксимации. Таким образом, схема переменных направлений (7.13), имея порядок
аппроксимации
| |
\(\displaystyle O(\Delta t^2,\, h_x^2,\, h_y^2),\) |
|
является более точной по сравнению со схемой расщепления (7.7), (7.8).
Алгоритм решения схемы переменных направлений (7.13) аналогичен
алгоритму решения схемы расщепления (7.7), (7.8). Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10),
имеют вид:
для первой подсхемы
| |
\(\displaystyle a_j = c_j = -\frac{\sigma}{2} \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad b_j = 1 + \sigma \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad \xi_{j,k}^{n} = u_{j,k}^{n} + \frac{\sigma}{2} \Delta t\, \lambda_{yy} u_{j,k}^{n};\) |
|
для второй подсхемы
| |
\(\displaystyle \widetilde{a}_k = \widetilde{c}_k = -\frac{\sigma}{2} \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{b}_k = 1 + \sigma \frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \widetilde{\xi}_{j,k}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/2} + \frac{\sigma}{2} \Delta t\, \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} - k \Delta t\, u_{j,k}^{n+1/2} + \Delta t\, f_{j,k}^{n+1/2}.\) |
|
Легко видеть, что для обеих подсхем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.
|