|
6.1. Характеристика первой подсхемы.
Первая подсхема (7.7) схемы расщепления, являясь аналогом
неявной разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения параболического типа,
обладает всеми свойствами последней: она абсолютно устойчива, решается с помощью метода прогонки.
Приведём подсхему (7.7) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:
| |
\(\displaystyle -\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} u_{j+1,k}^{n+1/2} + \left( 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} + k \Delta t \right) u_{j,k}^{n+1/2} - \sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} u_{j-1,k}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n} + \Delta t\, f_{j,k}^{n}.\) |
|
Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle a_j = c_j = -\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad b_j = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} + k \Delta t, \qquad \xi_{j,k}^{n} = u_{j,k}^{n} + \Delta t\, f_{j,k}^{n}.\) |
|
Легко видеть, что для первой подсхемы (7.7) схемы расщепления достаточное условие
сходимости прогонки (4.16) выполняется:
| |
\(\displaystyle \left| a_j \right| + \left| c_j \right| = 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} < 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} + k \Delta t = \left| b_j \right|.\) |
|
Рекуррентное прогоночное соотношение для первой подсхемы (7.7) имеет вид:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1/2} = \alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2} + \beta_j.\) |
(7.9) |
Прогоночные коэффициенты определяются согласно соотношениям (4.13):
| |
\(\displaystyle \alpha_j = -\frac{a_j}{b_j + c_j \alpha_{j-1}}, \qquad \beta_j = \frac{\xi_{j,k}^{n} - c_j \beta_{j-1}}{b_j + c_j \alpha_{j-1}}.\) |
(7.10) |
Для определения значений прогоночных коэффициентов на 1-м шаге, т.е. \(\displaystyle \alpha_1,\, \beta_1\),
и решения на правой границе используются граничные условия по координате x.
Методики определения, а также последовательность вычислений (метод прогонки) аналогичны описанным ранее. Отличие состоит лишь в том,
что соотношения (7.9) и (7.10) включают переменную k, поэтому необходимо задать внешний цикл
по этой переменной:
| |
\(\displaystyle k = 2, \ldots, N_y - 1;\) |
|
следовательно, при решении первой подсхемы (7.7) (т.е. на первом полушаге интервала \(\displaystyle \Delta t\)) метод прогонки
будет использован \(\displaystyle N_y - 2\) раза.
Результатом решения первой подсхемы (7.7) схемы расщепления являются
значения функции u на шаге по времени (n + 1/2), необходимые для решения
второй подсхемы (7.8). Однако следует отметить, что поскольку каждая из подсхем (7.7), (7.8)
по отдельности не аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (7.1) (аппроксимация
достигается только в результате последовательного решения обеих подсхем), оценка погрешности
значений функции u на шаге по времени (n + 1/2) не представляется возможной. Близость к истинным
значениям может быть гарантирована только для значений функции u на (n + 1)-ом шаге по времени.
|