|
4.1. Исследование устойчивости.
Исследуем устойчивость явной разностной схемы (7.2), аппроксимирующей
дифференциальное уравнение (7.1), с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f_{j,k}^{n}\),
наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы,
и представляем решение в виде гармоники:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n} = \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}, \qquad \alpha \in [0, 2\pi], \quad \beta \in [0, 2\pi]; \qquad \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} e^{i\beta k} - \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}}{\Delta t} = \sigma \frac{\lambda^{n} e^{i\alpha(j+1)} e^{i\beta k} - 2\lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k} + \lambda^{n} e^{i\alpha(j-1)} e^{i\beta k}}{h_x^2} + \sigma \frac{\lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta(k+1)} - 2\lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k} + \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta(k-1)}}{h_y^2} - k \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}.\) |
|
Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^{n} e^{i\alpha j} e^{i\beta k}\):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = \sigma \left( \frac{e^{i\alpha} - 2 + e^{-i\alpha}}{h_x^2} + \frac{e^{i\beta} - 2 + e^{-i\beta}}{h_y^2} \right) - k.\) |
|
Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = -\frac{\sigma}{h_x^2} 4\sin^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{\sigma}{h_y^2} 4\sin^2 \frac{\beta}{2} - k,\) |
|
из которой выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \lambda = 1 - 4\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 4\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2 \frac{\beta}{2} - k \Delta t.\) |
|
С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем (3.8) имеем:
| |
\(\displaystyle \left|\lambda\right| \le 1 \qquad \Rightarrow \qquad -1 \le 1 - 4\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 4\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2 \frac{\beta}{2} - k \Delta t \le 1.\) |
|
В полученном двойном неравенстве правое условие выполняется автоматически. Поэтому рассмотрим
более подробно левое условие:
| |
\(\displaystyle 1 - 4\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 4\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2 \frac{\beta}{2} - k \Delta t \ge -1 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \frac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2 \frac{\beta}{2} + \frac{k \Delta t}{4\sigma} \le \frac{1}{2\sigma}.\) |
|
Данное выражение содержит две переменные величины - α и β.
Чтобы гарантировать устойчивость разностной схемы (7.2) независимо от значений этих величин, следует перейти к более строгому условию,
задавая для \(\displaystyle \sin^2 \frac{\alpha}{2}, \ \sin^2 \frac{\beta}{2}\) максимально возможное значение, равное 1:
| |
\(\displaystyle \frac{\Delta t}{h_x^2} + \frac{\Delta t}{h_y^2} + \frac{k \Delta t}{4\sigma} \le \frac{1}{2\sigma} \qquad \Rightarrow \qquad \Delta t \le \frac{1}{\dfrac{2\sigma}{h_x^2} + \dfrac{2\sigma}{h_y^2} + \dfrac{k}{2}}.\) |
(7.4) |
Выражение (7.4) является условием устойчивости явной разностной схемы (7.2), аппроксимирующей
дифференциальное уравнение (7.1). В случае отсутствия в уравнении (7.1) свободного члена
(т.е. при k = 0), а также если интервалы между точками по осям х и y на
разностной сетке задать равными
| |
\(\displaystyle h_x = h_y = h,\) |
|
выражение (7.4) примет более простой вид:
| |
\(\displaystyle \frac{\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{4\sigma}.\) |
(7.4a) |
Сравнивая данное выражение с соотношением (3.12) (являющимся условием устойчивости явной разностной
схемы (3.4), аппроксимирующей одномерное дифференциальное уравнение параболического типа (3.3)) можно
сделать вывод, что увеличение размерности системы на порядок приводит к уменьшению в два раза
максимально возможного значения δt, при котором явная разностная схема будет устойчива.
|